Рассмотрим несколько примеров.

1.Для передачи сообщений используется простой код.

Наименьшее расстояние Хэмминга для данного кода называется кодовым расстоянием d_min.

Для данного кода расстояние Хэмминга d=1 или 2, а d_min=1.

Любая одиночная или двойная ошибка приводит к замене одного разрешенного кодового слова другим, и факт ошибки в приемнике обнаружить невозможно.

2.Для передачи того же набора сообщений используется код с длиной кодового слова n=3:

Действие ошибок большего веса (большей кратности) на данный код выражается в следующем:

· Код не обнаруживает двойные ошибки, любая двойная ошибка переводит одно разрешенное кодовое слово в другое разрешенное слово.

· Код обнаруживает тройную ошибку e=(111), так как она всегда приводит к появлению запрещенного слова.

Итак, для обнаружения ошибок в код должна быть внесена избыточность, то есть длина кодового слова должна быть больше минимально необходимой.

В общем случае, способность кода обнаруживать ошибкиопределяется следующим образом:

· Если кодовые слова отличаются друг от друга не менее чем на символов, то все ошибки веса будут обнаружены.

· Ошибки веса равного или больше d_min обнаруживаются частично, то есть одни ошибки обнаруживаются, а другие – нет.

Рассмотрим код, который позволяет не только обнаружить, но и исправить ошибки.

3.Построим код, который может исправить одиночную ошибку t=1. Чтобы код мог исправлять одиночные ошибки, то есть определять, какое кодовое слово было передано в действительности, разрешенные слова должны различаться, по крайней мере, в трех символах .

В этом случае любая одиночная ошибка переведет переданное кодовое слово в одну из запрещенных комбинаций и, следовательно, будет обнаружена. Полученная запрещенная комбинация будет отличаться от переданного кодового слова только одним символом, а от остальных разрешенных слов не менее чем в двух символах. Другими словами, принятая комбинация ближе к переданному слову и менее похожа на остальные разрешенные слова. Это позволяет нам выбрать среди разрешенных слов действительно переданное, а значит исправить ошибку.

Пусть передавалось кодовое слово 00000. Было принята комбинация 01000. Она является запрещенной. Обнаружено наличие ошибок. Чтобы определить, какое из слов было передано, приемник сравнивает принятую комбинацию со всеми разрешенными. Из четырех разрешенных слов ближе всего к принятой комбинации 00000. Ошибка исправлена.

В общем случае, способность кода исправлять ошибки определяется следующим образом:

· Если код имеет кодовое расстояние , и используется декодирование с исправлением ошибок по ближайшему разрешенному слову, то все ошибки веса t<d_min/2 исправляются.

· Ошибки большего веса могут исправляться частично.

Формулы, выражающие связь между кодовым расстоянием и весом ошибок, которые гарантированно обнаруживаются или исправляются, обычно записываются в виде