ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ, РАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ

Основы теории и цель работы

Относительным равновесием жидкости называется такое состояние, при котором отдельные ее частицы не смещаются одна относительно другой, а также стенок сосуда - и вся масса жидкости движется как твердое тело.

В абсолютно покоящейся жидкости (сосуд неподвижен) действующей массовой силой (в поле сил тяжести) является только сила тяжести. При относительном покое к ней добавляется еще массовая сила – сила инерции.

Законы относительного равновесия жидкости находят широкое применение в промышленности, а именно, в измерительной технике (жидкостные тахометры), в металлургии (центробежное литье) и других областях техники.

При изучении относительного равновесия необходимо заниматься, во-первых, установлением закона распределения давления внутри жидкости, а, во-вторых, определением формы поверхности равного давления, т.е. такой поверхности, все точки которой испытывают одинаковое давление.

Первая задача решается с помощью дифференциального уравнения гидростатики, справедливого для всех случаев равновесия

(3.1)

Вторая задача - с помощью дифференциального уравнения поверхности равного давления

, (3.2)

где x, y, z- координаты точек жидкости в системе отсчета, связанной с аппаратом (сосудом); P=f(x,y,z) - давление в жидкости; r - плотность жидкости; X, Y, Z- проекции единичной массовой силы q на оси координат.

При движении сосуда в поле сил тяжести вектор единичной массовой силы в каждой точке жидкости представляет собой сумму единичной силы тяжести и единичной силы инерции переносного движения:

; , (3.3)

где - переносное ускорение в точке жидкости.

единичной силы тяжести и вектора единичной центробежной силы инерции . Проекции на оси координат представляются выражениями

; ; (3.4)

Интегрирование уравнений (3.1) и (3.2) с учетом зависимостей (3.4) дает, во-первых, закон распределения давления в жидкости

) (3.5)

и, во-вторых, уравнение свободной поверхности жидкости, которое имеет вид параболоида вращения

, (3.6)

где P- давление в точке жидкости с координатами r и z; - давление на свободную поверхность жидкости в сосуде; - координата вершины параболоида (рис. 3.1); R - радиус сосуда; H - уровень воды в сосуде при .

Из уравнения (3.6) при r=0 определяется координата вершины параболоида

, (3.7)

а при r=R координата верхней кромки параболоида

(3.8)

Из зависимости (3.8) можно определить максимальную угловую скорость вращения сосуда, при которой жидкость не будет переливаться из него, т.е., когда

, (3.9)

где - высота сосуда.

Цель работы- экспериментальное определение формы свободной поверхности жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью, и сравнение результатов измерений с теоретическими расчетами.

Описание установки

Вертикальный цилиндрический прозрачный сосуд 1 (радиусом R= 0,11 м и высотой = 0,22 м) заполняется водой и приводится во вращение с помощью электродвигателя 2 (рис. 3.2) и ременной передачи со ступенчатыми шкивами 3. Для вращения сосуда 1 с разными скоростями ремень 4 перемещается вдоль ступенчатых шкивов 3. Число оборотов сосуда 1 измеряется с помощью тахометра. Уровень воды в сосуде 1 измеряется линейкой 5.

Проведение опытов и измерения

1. Перед началом эксперимента измеряется уровень воды в сосуде 1 с помощью линейки 5 (рис. 3.2). Этот уровень рекомендуется устанавливать на отметке H=0,08¸0,1 м. Если H<0,07 м сосуд необходимо долить водой.

2. Устанавливается ремень 4 в одно из положений и включается электродвигатель 2. Выжидают некоторое время, пока жидкость в сосуде 1 не придет в состояние относительного равновесия и стабилизации формы свободной поверхности (параболоида вращения). После этого производятся следующие измерения:

- частота вращения сосуда n;

- координаты верхней кромки параболоида вращения z_ви

- координаты вершины параболоида вращения z_ои.

3. Измерения производятся для нескольких опытов с разными частотами вращения n. Все результаты измерений заносятся в табл. 3.1.

Вычисления и составление отчета

1. Определяется угловая скорость вращения сосуда по формуле

, рад/с, (3.10)

где n – частота вращения сосуда, мин^-1.

2. Вычисляются теоретические координаты кривой свободной поверхности жидкости в сосуде, а именно, координаты вершины параболоида z₀ по формуле (3.7), а верхней кромки z_в – по формуле (3.8).

3. По зависимости (3.9) определяется максимальная угловая скорость вращения сосуда w _max.

4. Определяется степень отклонения (относительная погрешность) в % между измеренными и теоретическими координатами вершины и верхней кромки параболоида вращения по формулам

(3.11)

(3.12)

Все результаты вычислений заносятся в табл. 3.1.

5. По результатам измерений и вычислений строятся экспериментальная и теоретическая кривые свободной поверхности жидкости в меридиальном сечении сосуда (рис. 3.3). Промежуточные точки между z₀ и z_в теоретической кривой находятся по формуле (3.6), задаваясь значениями r. Экспериментальная кривая строится по трем точкам, т.е. по z_ои , z_ви и z_R/2 при r=R/2=0,055 м, которая находится по зависимости

Таблица 3.1

.

, м (3.13)

Сравнение полученных кривых позволяет судить о том, насколько экспериментальная кривая свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде близка к теоретической кривой, т.е. к параболе.

В выводах следует отметить: какая форма свободной поверхности жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью; причина образования параболоида вращения и его зависимость от частоты вращения сосуда; можно ли использовать и каким образом сосуд с жидкостью в качестве водяного тахометра.

Лабораторная работа № 4