Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: а || b,

Доказать:

Рис. 4.

Доказательство:(Рис. 4.)

Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a=MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N–это точка пересечения прямой b и плоскости α. .

Докажем, что N - это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN=b,что невозможно, так как прямые аи bпараллельны, а прямая адолжна пересекаться с прямой MN.Лемма доказана.