Теорема 4.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано:

Доказать: .

Рис. 5.

Доказательство:(Рис. 5.)

Выберем произвольную точку Кна прямой b.Тогда существует единственная плоскость α,проходящая черезточку Ки прямую а.Докажем, что прямая bлежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи спараллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точке М.Но тогда получается, что через точку Мпроходят две прямые а и b,параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b.Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать.