Расчет дискретного фильтра

Для выделения колебания заданной частоты рассчитаем дискретный полосовой фильтр, центр эффективного пропускания которого совпадает с этой частотой.

Передаточная функция БИХ-фильтра может быть получена путем билинейного преобразования передаточной функции аналогового полосового фильтра.

В качестве аналогового полосового фильтра выберем полиномиальный фильтр Баттерворта. Поскольку гармоники сигнала на выходе нелинейного преобразователя достаточно далеко разнесены по частоте, порядок фильтра может быть получен невысокий. Частоты соседних гармоник должны попадать в полосу непропускания фильтра. Характеристика ослабления фильтра должна обладать геометрической симметрией относительно выделяемой гармоники (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 – Характеристика ослабления фильтра

Расчет полосового фильтра обычно сводят к расчету НЧ-прототипа.

Рассчитаем БИХ-фильтр для выделения второй гармоники при частоте генерируемых колебаний 15.1 кГц, неравномерность ослабления в ПЭП DA=1дБ, минимально допустимое ослабление в ПЭН А_min =16 дБ (рис. 6.4), порядок НЧ-прототипа равен 2, период дискретизации Т=5.51 мкс.

Рассчитаем граничные частоты полосы эффективного пропускания (в дальнейшем ПЭП) и ПЭН.

Зная соотношение для ω₀:

То, задавшись одной из неизвестных частот, например, f₃=12 кГц, то есть ω₃=2πf₃=75360 рад/с, найдем ω′₃:

Учитывая соотношение:

Найдем ширину полосы эффективного пропускания:

Получаем систему уравнений:

Решая данную систему, получаем:

ω₂=68568,5 рад/с

ω′₂=46588,5 рад/с

Таким образом, граничные частоты ПЭП и ПЭН принимают значения:

f₂ = 10,92 кГц (ω₂ = 68568,5 рад/с);

f'₂ = 7,42 кГц (ω'₂ = 46588,5 рад/с);

f₃ =12 кГц (ω₃ = 75360 рад/с);

f'₃ =6,05 кГц (ω'₃ = 42390 рад/с).

Находим полосы передаточной функции НЧ – прототипа:

S_1,2 = -0,814634; S_3,4 = -0,407317±j1,11701

Денормирование и конструирование передаточной функции искомого ПФ осуществляется в два этапа.

На первом этапе находим полюсы передаточной функции полосового фильтра по известным полюсам НЧ-прототипа.

Для этого воспользуемся соотношением:

где Δω/2=10990 рад/с;

ω₀²=3,19∙10⁹ (рад/с)²;

σ_i+jΩ_i – i-ый полюс передаточной функции НЧ-прототипа.

Учитывая, что одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции полосового фильтра, рассчитаем полюса передаточной функции.

 

Таблица 5