Математика. элементы теории игр; системы массового обслуживания; элементы теории графов; элементы имитационного моделирования дискретного характера

элементы теории игр; системы массового обслуживания; элементы теории графов; элементы имитационного моделирования дискретного характера

Экономическая деятельность различных субъектов экономики зачастую оказывается связанной с необходимостью принимать оптимальные решения в условиях конфликтов, где под конфликтом понимается всякое явление, в котором участвуют различные субъекты экономики (игроки), наделенные несовпадающими интересами. В условиях конфликта стремление противника скрыть свои предстоящие экономические действия порождает неопределенность. Принятием оптимальных решений в условиях неопределенности занимается раздел математики под названием «теория игр».

Основные понятия теории игр

В разделах по теории оптимизации рассматривались такие задачи принятия решений, когда выбор решения осуществлялся одним лицом. В подобных задачах рационального ведения хозяйства решение выбирается при предположении о том, что известны целевая функция, различные способы действия и ограничения. В данном разделе рассматриваются задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого из субъектов зависит и от решений, принимаемых всеми остальными участниками. Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия.

Одна из характерных черт всякого общественного, социально-экономического явления состоит в множественности, многосторонности интересов и в наличии сторон, выражающих эти интересы. Классическими примерами здесь являются ситуации, где с одной стороны имеется один продавец, с другой — один покупатель (ситуация монополия — монопсония), когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара (ситуация олигополии, в том числе дуополии, если число таких участников равно двум). Более сложные ситуации подобного рода возникают, если имеются объединения или коалиции лиц, участвующих в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами или объединениями рабочих 'и предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте и т.п.

Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической политики обычно преследует разнообразные цели, согласуя противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т.п.). Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат действия тех или иных «стихийных сил» (случай так называемых «игр с природой»). Множество подобных примеров можно встретить в биологии, социологии, психологии, политологии, военном деле и т.д.

И наконец, примерами игр являются обычные игры: салонные, спортивные, карточные и др. Именно с анализа подобных игр начиналась математическая теория игр; они и по сей день служат прекрасным материалом для иллюстрации положений и выводов этой теории.

В итоге всякая претендующая на адекватность математическая модель социально- -экономического явления должна отражать присущие ему черты конфликта, т.е. описывать:

а) множество заинтересованных сторон (мы будем называть их игроками; в литературе по теории игр они именуются также субъектами, лицами, сторонами, участниками).

В случае, если число игроков конечно, они различаются по своим номерам (1-й игрок и 2-й игрок в игре в орлянку или в случае дуополии) или по присваиваемым им именам (например, Продавец и Покупатель в ситуации монополия — монопсония);

б) возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями или ходами;

в) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информацией организует свое поведение.

Формализация содержательного описания конфликта представляет собой его математическую модель, которую называют игрой.

Теория игр впервые была систематически изложена Дж.фон Нейманом и О.Моргенштерном в 1944 г., хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-х годах. Нейман и Моргенштерн написали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Затем главное внимание, снова стало уделяться экономическим проблемам. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.

Классификация игр

Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

В зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. Весь материал, представленный в теории оптимизации, можно рассматривать как теорию игр с одним игроком. В принципе возможны также игры с бесконечным числом игроков.

Согласно другому принципу классификации — по количеству стратегий — различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода — они могут выбрать «орел» или «решку»). Сами стратегии в конечных играх нередко называются чистыми стратегиями (смысл этого названия будет ясен далее). Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий — так, в ситуации Продавец—Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.

Третий способ классификации игр — по свойствам функций выигрыша (платежных функций). Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками. Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Игры в орлянку или в очко — типичные примеры антагонистических игр. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Между этими крайними случаями имеется множество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.

В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.

Формальное представление игр

Дадим формальное описание перечисленных элементов конфликта. Множество всех игроков, обозначаемое I, в случае конечного их числа может задаваться простым перечислением игроков.

Например, I=(1,2) при игре в орлянку, I = [Продавец, Покупатель] в ситуации монополия — монопсония, I ={1, 2,..., п] в случае анализа результатов голосования в парламенте.

Множество стратегий игрока i обозначим через X_i. При игре в орлянку каждый игрок располагает двумя стратегиями: Х_i ={0рел, Решка}; каждый участник голосования имеет выбор на множестве стратегий {За, Против]. В случае взаимодействия на рынке как Продавец, так и Покупатель могут назначать некоторую неотрицательную цену на. продаваемый (покупаемый) товар, т.е. множество стратегий каждого из них X_i: P_i > 0.

В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию х_i в результате чего складывается набор стратегий х={х₁, х₂,..., х_n}, называемый ситуацией. Так, ситуацию в парламенте описывает список [За, За, Против, За,...}, полученный в итоге проведенного голосования.

Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i в каждой ситуации х приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается через h_i(х), а соответствие между набором ситуаций и выигрышем игрока г называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока H_i.

В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы — стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. (Данная форма представления конечных игр двух лиц объясняет общее для них название —матричные игры.)

Например, в случае игры в орлянку каждый из игроков имеет по две стратегии, именуемые Орел и Решка. Если игроки выбирают одинаковые стратегии, т.е. в случаях, если оба говорят Орел или оба говорят Решка, 1-й игрок выигрывает 1 рубль, а второй игрок проигрывает 1 рубль. В ситуациях, когда оба игрока выбирают различные стратегии, 1-й игрок проигрывает 1 рубль, а 2-й игрок соответственно этот 1 рубль выигрывает.

В итоге матрица выигрышей 1-го игрока Я, выглядит следующим образом:

Для антагонистических игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (игр с нулевой суммой), выполняется соотношение H₁ ==-H₂. Игра в орлянку, очевидно, является примером такой игры.

Часто для наглядности матрицы выигрышей для обоих игроков совмещают в одну, которая дает полное представление о всей игре:

В каждой клетке этой матрицы слева указаны значения выигрыша 1-го игрока, справа — значения выигрыша 2-го игрока.

Рассмотрим пример задания матрицы выигрышей для игры с ненулевой суммой, называемой в литературе по теории игр дилеммой заключенного. Содержание игры следующее: два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет.

Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться, выдав при этом сообщника. В итоге можно получить следующую матрицу «выигрышей» для обоих игроков:

Приведем, наконец, пример записи функции выигрыша для бесконечной игры. В случае дуополии каждый из игроков может объявить цену р,, по которой он хотел бы продать некоторое количество товара. При этом предполагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену, или распределят свой спрос поровну между фирмами в случае, если они назначили одинаковую цену. Если функцию спроса в зависимости от цены на товар обозначить как d(p), то функция выигрыша 1-й фирмы П₁(р₁, р₂) будет иметь вид

Аналогично выглядит функция выигрыша второй фирмы П₂(р₁, р₂).

Довольно часто экономические субъекты сталкиваются с потоком требований на обслуживание, поступающих в экономические системы обслуживания, например, от клиентов, которые надо выполнять, что связано с такими параметрами, как длительность ожидания и длины очередей и т.п., и их зависимостью от правил обслуживания: При этом рациональным выбором структуры экономической системы обслуживания и процесса обслуживания занимается теория массового обслуживания.

Классификация систем массового обслуживания

Большинство экономических задач связано с системами массового обслуживания.

Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания.

Система массового обслуживания включает следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслуживающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований.

Системы массового обслуживания классифицируют по разным признакам. К таким признакам относятся условия ожидания требования начала обслуживания. В соответствии с этим признаком системы подразделяются на следующие виды:

- системы массового обслуживания с потерями (отказами);

- системы массового обслуживания с ожиданием;

- системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди;

- системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.

Системы массового обслуживания, у которых требования, поступающие в момент, когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются, называются системами с потерями или отказами.

Системы массового обслуживания, у которых возможно появление как угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству, называются системами с ожиданием.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

По числу каналов или приборов системы делятся на одноканальные и многоканальные.

По месту нахождения источника требований системы массового обслуживания делятся на разомкнутые, когда источник находится вне системы, и замкнутые, когда источник находится в самой системе. К последнему виду относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а следовательно, и требований на их обслуживание.

Одной из форм классификации систем массового обслуживания является кодовая (символьная) классификация Д.Кендалла. При этой классификации характеристику системы записывают в виде трех, четырех или пяти символов, например А \ В\ S, где А — тип распределения входящего потока требований, В — тип распределения времени обслуживания, S — число каналов обслуживания.

Для экспоненциального распределения принимают символ М, для любого (произвольного) распределения — символ G. Запись G / М / 3 означает, что входящий поток требований пуассоновский (простейший), время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, в системе имеется три канала обслуживания.

Четвертый символ указывает допустимую длину очереди, а пятый — порядок отбора (приоритета) требований.

Показатели эффективности систем массового обслуживания

Показатели эффективности делятся на показатели, характеризующие качество и условия работы обслуживающей системы, и показатели, отражающие экономические особенности системы.

Показатели первой группы обычно формируют на основе полученных из расчетов значений вероятностей состояний системы. Показатели второй группы рассчитывают на основе показателей первой группы.

Среди показателей первой группы можно выделить следующие.

1) Вероятность того, что поступающее в систему требование откажется присоединяться к очереди и теряется, (Р_отк).

Этот показатель для системы массового обслуживания с отказами равен вероятности того, что в системе находится столько требований, сколько она содержит приборов (каналов) обслуживания:

где т —число каналов обслуживания.

Для системы с ограниченной длиной очереди Р_отк равно вероятности того, что в системе находится т +l требований:

где l — допустимая длина очереди.

Противоположным показателем является вероятность обслуживания требования

2) Среднее количество требований, ожидающих начала обслуживания,

где P_n — вероятность того, что в системе находятся п требований.

При условии простейшего потока требований и экспоненциального закона распределения времени обслуживания формулы для М_ож принимают следующий вид:

система с ограниченной длиной очереди

где р = , — интенсивность входящего потока требований (среднее число требований, поступающих в единицу времени), — интенсивность обслуживания (среднее число обслуженных требований в единицу времени);

3) Относительная (q) и абсолютная (А) пропускные способности системы. Эти величины находят соответственно по формулам

4) Среднее число занятых обслуживанием приборов в случае экспоненциального характера потока требований и времени обслуживания

Для системы массового обслуживания с отказами т-, можно найти по формуле

5) Общее количество требований, находящихся в системе (М). Эту величину определяют следующим образом:

система массового обслуживания с отказами

система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди и ожиданием

6) Среднее время ожидания требованиям начала обслуживания (Т_ож). Если известна функция распределения вероятности времени ожидания требованиям начала обслуживания

Т_ож при показательном законе распределения требований во входящем потоке можно определить по формуле

Показатели, характеризующие экономические особенности, формируют обычно в соответствии с конкретным видом системы и ее назначением. Одним из общих экономических показателей является экономическая эффективность

где с — средний экономический эффект, полученный при обслуживании одного требования, Т — рассматриваемый интервал времени, G_п — величина потерь в системе.

Величину потерь можно определить по следующим формулам:

система с отказами

где q_k — стоимость эксплуатации одного прибора в единицу времени, q_y — стоимость убытков в результате ухода требований из системы в единицу времени, q_пк — стоимость единицы времени простоя прибора системы, т_св= т – т₃;

q_ож — стоимость потерь, связанных с простоем требований в очереди в единицу времени.¹

Отображение экономических отношений и процессов в виде множества вершин и набора неупорядоченных и упорядоченных пар вершин позволяет использовать в качестве математического инструментария для исследования данных экономических отношений и процессов элементы теории графов, которые обеспечивают принятие экономических решений за счет различения оптимального маршрута в графе, заданного целеполаганием.

Основные понятия теории графов

Граф G — это совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами. На рис. 10.4.1 изображен граф, имеющий, пять вершин и шесть ребер. Если рассматривается множество упорядоченных пар точек, т.е. на каждом ребре

задается направление, то граф G называется ориентированным. В противном случае G

называется неориентированным графом.

Ребра, имеющие одинаковые концевые вершины, называются параллельными. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей. На рис. 10.4.1 а₄ и а₅ — параллельные ребра, a а₆ — петля.

Вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра концевой точкой. На рис. 10.4.1 вершина Р₃ и ребро а₃ инцидентны друг другу.

Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра, называются смежными вершинами. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными ребрами. На рис. 10.4.1 Р₁ , Р₂ — смежные вершины, а а₁, а₄ — смежные ребра.

Степенью вершины называется число ребер, инцидентных ей. Вершина степени 1 называется висячей. Вершина степени 0 называется изолированной. На рис. 10.4.1 степень вершины Р₁ равна трем, Р₄ —висячая вершина, Р₅ —изолированная.

Теорема 1. В графе G сумма степеней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа:

Теорема 2. Число нечетных вершин любого графа, т.е. вершин, имеющих нечетную степень, четно.

Граф G называется полным, если любые две его различные вершины соединены ребром и'он не содержит параллельных ребер.

Дополнением графа G называется граф с теми же вершинами, что и граф G, и содержащий, только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получился полный граф. На рис. 10.4.2 изображены следующие графы:

G₁ — полный граф с пятью вершинами, G₂ — некоторый граф, имеющий пять вершин, ₂ — дополнение граф G₂.

Путем в графе называется такая последовательность ребер, ведущая от некоторой начальной вершины Р₁ в конечную вершину Р_n, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Например, в графе, изображенном на рис. 10.4.1, последовательность ребер (а₁, а₂,а₃, а₄,а₅, а₆)образует путь, ведущий от вершины Р₁ к вершине Р₄.

Циклом называется путь, начальная и конечная вершины которого совпадают. На рис. 10.4.1 ребра (a₁, a₃, a₄) образуют цикл.

Цикл графа G называется простым, если он не проходит ни через одну вершину G более одного раза.

Длиной пути или цикла называется число ребер этого пути или цикла.

Связные графы

Граф G называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий. В противном случае граф G называется несвязным.

Любой несвязный граф является совокупностью связных графов. Эти графы обладают тем свойством, что никакая вершина одного из них не связана путем ни с какой вершиной другого. Каждый из этих графов называется компонентой графа G. На рис. 10.4.3 изображен несвязный граф G с компонентами G₁, G₂, G₃. Каждая компонента является связным графом.

Теорема 3. Для того чтобы граф G представлял собой простой цикл, необходимо и достаточно, чтобы каждая его вершина имела степень 2.

Ребро а называется мостом графа G, если граф, получившийся из G после удаления ребра а (такой граф обозначается G \ а ), содержит больше компонент, чем граф G .

Теорема 4. Ребро а графа G является мостом тогда и только тогда, когда а не принадлежит ни одному циклу.

Подграфы

Рассмотрим граф G == (Р, А) с множеством вершин Р и множеством ребер А. Граф G' == (Р¹, А¹) называется подграфом графа G, если Р', А^э являются подмножествами Р и А, причем ребро содержится в А' только в том случае, если его концевые вершины содержатся в Р'. Пусть Р' — некоторое подмножество множества вершин графа G = (Р, А) и пусть А’ — множество всех ребер графа G, концевые вершины которых входят в Р'. Тогда граф G' = (Р¹, А¹) называется вершинно-порожденньш подграфом графа G.

Обозначим через А' некоторое подмножество множества ребер графа G = (Р, А) и пусть Р' есть множество всех вершин графа G, инцидентных ребрам из А'. Тогда граф G'=(P',A') называется реберно-порожденнъш подграфом графа G.

На рис. 10.4.4 изображены вершинно-порожденный подграф G₁ графа G, представленного на рис. 10.4.1 (множество вершин P₁, P₃, P₄), и реберно-порожденный подграф G₂ того же графа G (множество ребер а₁, а₃, а₄, а₆).

Операции над графами

Объединением графов G₁=(P₁, A₁) и G₂=(P₂, A₂) называется граф G-=G₁ G₂, множество вершин которого есть объединение множеств вершин графов g₁ и G₂ (Р =P₁ U P₂) а множество ребер является объединением множеств ребер этих графов (A =A₁ U A₂).

Пересечением графов G₁ и G₂ называется граф G=G₁ G₂, множество вершин которого есть пересечение P₁ P₂, а множество ребер — пересечение A₁ A₂.

Кольцевой суммой двух графов называется граф G₁ G₂, порожденный на множестве ребер (A₁ A₂) \ (A₁ A₂) т.е. на множестве ребер, присутствующих либо в Gp либо в Сд, но не принадлежащих их пересечению G₁ G₂.

Очевидно, что все эти три операции коммутативны.¹

При исследовании сложных систем экономических отношений и процессов используется инструментарий имитационного моделирования, который является упрощенным отображением действительности, генерирующим различные конкретные реализации входного сигнала моделируемой системы и строящим в соответствии с зафиксированным описанием системы выходной сигнал, обеспечивающий принятие экономического решения.

Моделирование (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карла

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда американские ученые Н.Метрополис и С.Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой

систематически его изложили. Название метода связано с названием города Монте-Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку — одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод.

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т.д.).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой а:

. Практически же поступают так: производят п испытаний; в результате которых получают п возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое

и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а * искомого числа а:

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а *.

Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины». Изложим лишь некоторые способы разыгрывания случайных величин и укажем, как оценить допускаемую при этом ошибку.

Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки а * математического ожидания а случайной величины Х было произведено п независимых испытаний (разыграно п возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: а* = . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения X, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка а*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надежностью) :

Интересующая нас верхняя граница ошибки есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Поэтому воспользуемся результатами, полученными ранее, и рассмотрим следующие три случая.

1. Случайная величина Х распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение - известно. В этом случае с надежностью у верхняя граница ошибки

где п — число испытаний (разыгранных значений X); t — значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t) == /2, — известное среднее квадратическое отклонение X.

2. Случайная величина Х распределена нормально, причем ее среднее квадратическое отклонение неизвестно. В этом случае с надежностью верхняя граница ошибки

где п — число испытаний; s — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, t находят по таблице значений t_y == t{ ,n}.

3. Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n > 30) с надежностью, приближенно равной , верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (10.4.24), если среднее квадратическое отклонение случайной величины Х известно; если же -неизвестно, то можно подставить в формулу (10.4.24) его оценку s — «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (10.4.25). Заметим, что чем больше п, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при п —> распределение Стьюдента стремится к нормальному. В частности, при п=--100, =0,95 верхняя граница ошибки равна 0,098 по формуле (10.4.24) и 0,099 по формуле (10.4.25). Как видим, результаты различаются незначительно.

Замечание. Для того чтобы найти наименьшее число испытаний, которые обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки , надо выразить п из формул (10.4.24) и (10.4.25):

Случайные числа

Ранее было указано, что метод Монте-Карло-основан на применении случайных чисел; дадим определение этих чисел. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0; 1).

Случайными числами называют возможные значения г непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0; 1).

В действительности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной R, возможные значения которой, вообще говоря, имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R*, возможные значения которой имеют

конечное число знаков. В результате замены R на R * разыгрываемая величина имеет не точно, а приближенно заданное распределение.¹

Таблицу случайных чисел можно найти в книге: Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 428.

Использование элементов имитационного моделирования при исследовании экономических отношений и процессов облегчается в результате подключения ЭВМ для алгоритмического выстраивания данной процедуры моделирования, что обеспечивает обработку с помощью программ, отображающих распределение тех или иных величин, характеризующих поведение исследуемой системы, которые определяют ее различные качественные характеристики.

Разыгрывайте дискретной случайной величины

Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину X, т.е. получить последовательность ее возможных значений х_i; (i = 1, 2,..., п) зная закон распределения Х ;

Видим, что длина частичного интервала с индексом i равна вероятности с тем же индексом:

Дл. _i=p_i. (10.4.28)

Теорема. Если каждому случайному числу r_j. (О r_j < 1), которое попало в интервал _i-, ставить в соответствие возможное значение х_i, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения:

Доказательство. Так как при попадании случайного числа г_i; в частичный интервал _i, разыгрываемая величина принимает возможное значение х_i, а таких интервалов всего п, то разыгрываемая величина имеет те же возможные значения, что и X, а именно x₁, x₂, …, x_n

Вероятность попадания случайной величины R в интервал _i, равна его длине, а в силу (10.4.28) Дл. _i == p_i. Таким образом, вероятность попадания R в интервал _i равна р_i. Следовательно, вероятность того, что разыгрываемая величина примет возможное значение х_i также равна p_i, (поскольку мы условились в случае попадания случайного числа r_i в интервал _i. считать, что разыгрываемая' величина приняла возможное значение x_i.). Итак, разыгрываемая величина имеет заданный закон распределения.

Правило, Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину, заданную законом распределения

надо: 1) разбить интервал (0; 1) оси Or на п частичных интервалов: ₁ -(0; p₁), ₂ –(р₁; p₁+p₂),……., _n –( p₁ + p₂ +…..+ p_n-1; 1);

2) выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число r_i.

Если r_j попало в частичный интервал _i то разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение х_i.

Пример. Разыграть 8 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы

Решение. I. Разобьем интервал (0; 1) оси Or точками с координатами (0.25; 0.25 + 0.16 = 0.41) на 3 частичных интеввала:

2. Выпишем из таблицы равномерно распределенных случайных чисел восемь случайных чисел, например: 0,10; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.

Случайное число r₁=0,10 принадлежит частичному интервалу р поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение x₁ = 3.

Случайное число r₂=0,37 принадлежит частичному интервалу ₂, поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение Х₂ =11. Аналогично получим остальные возможные значения.

Итак, разыгранные возможные значения Х таковы: 3; 11; 3; 24; 3; 24; 11; 24. Замечание. Далее будет показано, что разыгрывание событий можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины. Сначала рассмотрим полную группу, состоящую из двух событий, а затем из п событий. Разумеется, полная группа из двух событий является частным случаем полной группы п событий. Однако, исходя из методических соображений, этот частный случай намерено выделен в самостоятельный параграф.

Разыгрывание противоположных событий

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероятностью р и, следовательно, не появляется с вероятностью q = 1 - р.

Введем в рассмотрение дискретную случайную величину Х с двумя возможными значениями (для определенности примем х₁ = 1, x₂ = 0) и соответствующими им вероятностями р₁ = р, р₂ == q. Условимся считать, что если в испытании величина Х приняла возможное значение х₁ = 1, то событие А наступило; если Х == х₂ = 0, то событие А не наступило, т.е. появилось противоположное событие .

Таким образом, разыгрывание противоположных событий А и сведено к разыгрыванию дискретной случайной величины Х с заданным законом распределения:

Для разыгрывания Х надо интервал (0; 1) разбить точкой р на два частичных интервала: ₁ - (0; p) и ₂ - (р, 1). Затем выбирают случайное число r_j. Если г_j попадает в интервал ₁ то Х = х₁ (наступило событие А); если r_j попадает в интервал ₂, то Х = Х₂ = 0 (событие А не наступило).

Правило, Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна р и, следовательно, вероятность наступления противоположного события равна 1 - р, надо выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число r_j (j =1,2,...); если г_j < р, то событие А наступило; если r_j р, то появилось противоположное событие .

Пример. Разыграть б испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р = 0,35.

Решение. Выберем шесть случайных чисел, например: 0,10; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12; 0,06. Считая, что при r_j < 0,35 событие А появилось, а при r_j 0,35 наступило противоположное событие А, получим искомую последовательность событий.

Разыгрывтпие полной группы событий

Разыгрывание полной группы п (п>2) несовместных событий А₁, А₂,..., А_n, вероятности которых p₁, р₂,.--, р_n известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины Х со следующим законом распределения (для определенности примем x₁ = 1, х₂ =- 2,..., х_n =- п):

Действительно, достаточно считать, что если в испытании величина Х приняла значение ;x_i=i (i =1, 2,..., n), то наступило событие А_i. Справедливость этого утверждения следует из того, что число п возможных значений Х равно числу событий полной группы и вероятности возможных значений х и соответствующих им событий А_i одинаковы: Р(Х = х_i.) ==Р(А_i)= р_i. Таким образом, появление в испытании события А равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина Х приняла возможное значение х.

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А₁, А₂,...,А_n полной группы, вероятности которых P₁, P₂……P_n известны, достаточно разыграть дискретную случайную величину Х со следующим законом распределения:

Если в испытании величина Х приняла возможное значение х_i = i, то наступило событие а_i. ¹