Введение. Цель работы. Определение момента инерции физического маятника двумя методами, измеряя: 1) период его малых колебаний; 2) его приведённую длину.

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы. Определение момента инерции физического маятника двумя методами, измеряя: 1) период его малых колебаний; 2) его приведённую длину.

Введение

Физическим маятником называется любое твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т.е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведённой длинойфизического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 1 точка О – след горизонтальной оси вращения, точка В – центр тяжести. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции и центр тяжести совпадают.

Рис. 1.
Тело совершает колебания под действием вращающего момента:

(1)

где - расстояние от оси вращения до центра тяжести тела, равное ОВ.

Из рисунка 1 следует, что

Здесь φ – угловое перемещение тела, отсчитываемое от положения равновесия. При малых значениях φ угловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого определяется направлением поворота тела из положения равновесия в заданное направление правилом правого винта. Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций М и φ на ось вращения приписать противоположные знаки.

Тогда формула (1) примет вид

(1а)

При малых углах φ можно ограничиться первым членом разложения функции sinφ в ряд

и принять , если φ выражено в радианах. Тогда формулу (1а) можно записать следующим образом:

(2)

Используем основной закон динамики вращательного движения, записав его в проекциях на ось вращения:

(3)

где - момент инерции тела относительно оси вращения;

- угловое ускорение, причём .

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим

или

(4)

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентами, как известно, имеет решение

φ(t) = φ₀ cos(ωt + α), (5)

содержащее две произвольные постоянные φ₀ и α, определяемые начальными условиями. Величины φ₀ и α называют соответственно амплитудой и начальной фазой колебаний. Заметим при этом, что циклическая частота ω, как и период колебаний Т_ф, определяется динамическими свойствами системы и равны, соответственно,

и (6)

в чём можно убедиться, подставив решение φ(t) в виде формулы (5) в уравнение (4).

Известно, что период колебаний математического маятника равен

откуда следует, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина его равна

(7)

Это и есть формула приведённой длины физического маятника.