Кривые в системе координат

Студенты, уделяющие учебе больше времени, получают высокие оценки, однако на успевае­мость влияют и другие факторы. Важное значение имеют знания, полученные в школе, способности, внимание со стороны преподавателя и завтрак. Однако на рис. 2н.2 действие всех этих факторов не учитывается. С другой стороны, экономистов нередко интересует именно зависимость между двумя переменными.

Один из самых важных графиков, рассматриваемых в экономической теории, — кри­вая спроса, отражающая влияние цены продукта на количество товара, которое потребители хотели бы приобрести. Табл. 2п.1 показывает, как количество романов, которые покупает Эмма Б., зависит от ее дохода и цены книг. Дешевые издания Эмма покупает в огромных количествах. По мере того как книги становятся дороже, она проводит больше времени в библиотеке или предпочитает чтению поход в кинотеатр. При данной цене Эмма покупает больше романов в тех случаях, когда имеет более высокий доход. То есть когда ее доход растет, она тратит часть дополнительного дохода на романы, а часть — на другие товары.

Средняя оценка

Рис. 2п.2

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Средний балл отражается на верти­кальной оси, а время учебы — на горизон­тальной. Баллы Альберта Э., Альфре­да Э. и их коллег-студентов представ­лены различными точками. Из графика следует, что студенты, проводящие больше времени за учебой, получают более высокие оценки.

4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

Альберт Э.

(25, 3.5)

Альфред Э. (5,2-0)

10 15 20 25 30 35 40 Время учебы

(часов в неделю)

Теперь у нас есть три переменные: цена романов, доход и количество купленных книг, а значит, мы не можем представить всю имеющуюся информацию в системе координат. Чтобы интерпретировать данные из табл. 2п.1 в графической форме, нам необходимо принять одну из трех переменных за константу и показать зависимость между двумя оставшимися. Так как кривая спроса отражает зависимость между ценой и спросом, мы примем доход Эммы за постоянную величину и покажем, как количество романов, кото­рые она покупает, зависит от цены романов.

Предположим, что доход Эммы составляет $ 30 тыс. в год. Если на оси X мы отметим количество романов, которые покупает Эмма, а на оси Y — цену приобретаемых книг, мы получим возможность графически представить средний столбец из табл. 2п.1. Соединив полученные из таблицы точки — (5 романов, $ 10), (9 романов, $ 9) и т. д., — получаем линию, представленную на рис. 2п.З, — кривую спроса Эммы на романы, показывающую, сколько книг хотела бы купить Эмма по определенной цене. Кривая направлена вниз и отражает обратную зависимость между количеством романов, на которые существует спрос, и ценой.

Цена романов

$11 10

9 8 7 6

5 4

3 2 1 (5, $Ю)

(9, $9)

(13, $8)

(17, $7)

(21, $6)

(25, $5) Спрос, D,

Рис. 2п.З

КРИВАЯ СПРОСА Линия D, показыва­ет зависимость числа приобретае­мых Эммой книг от цены на романы, при условии, что ее доход считается постоянным. Между ценой и количеством книг существует обратная зависи­мость, кривая спроса идет по нисходящей.

10 15 20 25 30 Количество

купленных романов

Таблица 2п.1

РОМАНЫ, ПРИОБРЕТЕННЫЕ ЭММОЙ Б. Таблица показывает количество приоб­ретаемых Эммой книг в зависимости от уровня ее дохода и цен на романы. При любом Данном уровне дохода цена и показатели спроса могут быть представ­лены на графике с помощью кривой спроса на романы.

.i к No «4

Теперь предположим, что доход Эммы вырос до $ 40 тыс. в год. При данной цене Эмма купит больше романов, чем она приобретала при более низком доходе. Так же как мы чертили кривую спроса Эммы на романы, используя значения из среднего столбца табл. 2п.1, мы проведем новую линию, используя значения из правого столбца таблицы. Новая кривая спроса (кривая D₂) расположена вдоль старой кривой (кривой D_t) на рис. 2п.4. Новая кривая похожа на линию слева. Таким образом, мы можем сказать, что рост доходов Эммы привел к сдвигу или смещению ее кривой спроса. Если бы доход Эммы снизился до $ 20 тыс. в год, она покупала бы меньше романов при любой данной цене и кривая ее спроса сместилась бы влево (к кривой D₃).

В экономической теории важно различать движение по кривой и сдвиг кривой. Из рис. 2п.З следует, что, если Эмма зарабатывает $ 30 тыс. в год и один роман стоит $ 8, за год она приобретет 13 романов. Если цена на книгу упадет до $ 7, количество приобретен­ных романов возрастет до 17, однако кривая спроса остается на том же месте. Итак, Эмма покупает определенное количество книг по каждой из возможных цен; если цена на романы снижается, ее спрос перемещается по кривой спроса слева направо. Напротив, если цена романов остается неизменной и составляет $ 8, а ее доход возрастет до $ 40 тыс. в год, Эмма увеличивает количество покупок романов с 13 до 16 в год. Так как Эмма покупает больше романов по каждой возможной цене, ее кривая спроса смещается впра­во, как показано на рис. 2п.4.

Когда переменная, которую мы принимали за константу, изменяется, это приводит к сдвигу кривой. Поскольку мы не отражали годовой доход девушки ни на оси X, ни на оси Y, при его изменении кривая спроса Эммы должна смещаться. Любое изменение, отражающееся на покупательских привычках Эммы (кроме изменений в цене романов), приводит к сдвигу ее кривой спроса. Если, например, закроется публичная библиотека, в которой девушка брала книги, ей придется покупать издание каждого романа, который ей захочется прочесть; она будет вынуждена покупать больше романов по каждой возмож­ной цене, и кривая спроса сдвинется вправо. Или, если снизятся цены на билеты в кинотеатр и Эмма будет проводить больше времени в кино и меньше читать, ее спрос по каждой возможной цене уменьшится и кривая ее спроса сместится влево. Напротив, когда изме­няется переменная, отражающаяся на оси координат графика, кривая не сдвигается, а изменение отражается в движении вдоль кривой.

Рис. 2п.4

СДВИГ КРИВЫХ СПРОСА

Положение кривой спроса Эммы на романы зависит от величины ее дохода. Чем больший доход она получает, тем больше романов она купит при любой данной цене и тем правее будет лежать кривая спроса. Кривая D, представляет первоначальный спрос Эммы, когда ее доход составлял $ 30 тыс. в год. Если ее доход возрастет до $ 40 тыс. в год, кривая спроса сместится до D₂. Если ее доход упадет до $ 20 тыс. в год, кривая спроса сместится до D₃.

Цена романов

$11 10

9 8 7 6

5 4 3 2 1

о,- V^s*

(Доход = .„ ¹ . (Доход = $20000) $°™Щ$-0000)

30 Количество купленных романов

Наклон и эластичность

Один из вопросов, который вы, возможно, захотите задать об Эмме Б., — вопрос о том, как воздействует цена книг на ее покупательские привычки. Взгляните на кривую спроса на рис. 2п.5. Если кривая очень крутая, количество покупаемых Эммой товаров при увели­чении или уменьшении цены изменяется незначительно. Если перед нами пологая кривая, небольшое изменение цены приводит к тому, что число покупаемых девушкой книг значи­тельно увеличивается или уменьшается. Ответить на вопрос о том, как одна переменная реагирует на изменения другой, позволяет нам использование понятия наклона.

Наклон линии — это отношение вертикального изменения координат точки к гори­зонтальному изменению координат по мере движения вдоль линии. В математических символах данное определение описывается следующим образом:

Ду

"Дх"'

где греческая буква Д (дельта) означает величину изменения переменной. Пологая линия вверх характеризуется наклоном, выраженным небольшим положительным числом, крутая — большим положительным числом, линия, направленная вниз, — отрицательным числом. У горизонтальной линии наклон равен нулю, потому что в этом случае координаты пере­менной по оси Y не изменяются; наклон вертикальной линии равен бесконечности, потому что значение переменной по оси Y может быть любым вне зависимости от значения пере­менной по оси X.

Какой наклон имеет кривая спроса Эммы Б. на романы? Поскольку кривая направ­лена вниз, ее наклон отрицателен. Чтобы подсчитать количественное значение наклона, мы должны выбрать две точки на линии. Если доход девушки составит $ 30 тыс., она купит 21 роман по цене $ 6 или 13 романов по цене $ 8. Нас интересует разница между этими двумя точками, поэтому наши расчеты будут выглядеть следующим образом:

(У,-У,)_ (6-8) -2_ -1_ (х, - х₂) (21 - 13) 8 4

Данные для наших расчетов наглядно представлены на рис. 2п.5. Попытайтесь само­стоятельно рассчитать наклон кривой спроса, используя две другие точки. Вы должны получить в точности такой же результат — 1 /4. Одна из характеристик нашей кривой — ее постоянный наклон. Это не относится к другим типам кривых, наклон которых может изменяться.

Цена романов

$11 10

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Рис. 2п.5

РАСЧЕТ НАКЛОНА ЛИНИИ

Чтобы вычислить наклон кривой спроса, необходимо рассчитать изменение значений координат х и у при перемеще­нии из одной точки (21 роман по цене $ 6) в другую (13 романов по цене $ 8). Наклон линии — это отноше­ние изменения значения координаты у (-2) к изменению значения координаты х (+8), равное -1/4.

Наклон кривой спроса Эммы на книги говорит нам о том, как изменяется количество ее покупок с изменением цены. Небольшой наклон (число, близкое к нулю) означает, что кривая спроса относительно полога; в этом случае количество дополнительно приобретае­мых в ответ на изменение цены товаров довольно значительно. Большее значение наклона кривой (число, значительно большее или меньшее нуля) — атрибут крутой кривой спро­са; в этом случае количество дополнительно приобретенных товаров в ответ на изменение цены невелико.

Однако метод расчета наклона кривой как способ измерения реакции Эммы на изме­нение цены товаров не отличается совершенством. Проблема заключается в том, что наклон кривой зависит от единиц измерения переменных по осям х и у. Если бы мы измеряли цену романов в центах, а не в долларах, наклон кривой спроса составил бы 200/8 или -25, а не -1/4 согласно нашим первоначальным вычислениям. Однако никто не ставит под сомнение верность расчетов. Данное расхождение в результатах просто говорит нам об одной важной вещи, а именно: спрос Эммы на романы менее чувствителен к изменению цены в несколько центов, чем к изменению цены на такое же количество долларов. Если мы попытаемся сравнить наклон кривой спроса Эммы на романы с ценой книг, выраженной в долларах, с наклоном кривой спроса Дона К. с ценой, выраженной в испанских песо, или с наклоном кривой спроса Дэвида К. с ценой, выраженной в фунтах стерлингов, последует конфуз. По этой причине экономисты часто измеряют чувствительность одной переменной к изменениям другой не наклоном кривой, а эластичностью, когда используется не коли­чественное изменение, а изменение переменной в процентах. Снижение цены с $ 8 до $ 6 означает ее уменьшение на 25%, точно так же как и снижение цены с 800 центов до 600. Использование понятия эластичности позволяет нам не беспокоиться о единицах измере­ния переменных, поскольку изменение, выраженное в процентах, будет одинаковым во всех случаях. Более подробно мы рассмотрим вопрос об эластичности в главе 5.