Решение. Обозначим H середину ребра BC (см

Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник A₁BC – равнобедренный, отрезки AH и A₁H перпендикулярны BC . Следовательно, ∠A₁HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA.

Из треугольника A₁AB найдём: AA₁ = 1.

Из треугольника AHB найдём: AH = √3 .

Из треугольника HAA₁ найдём:

Искомый угол равен 30° .

Ответ:30° .

Возможны другие формы записи ответа.Например:

Возможны другие решения.Например, с использованием векторов или метода координат.

Решите систему неравенств

Решение.

1. Неравенство 4^x ≤ 9 ⋅ 2x + 22 запишем в виде

Относительно t = 2^x неравенство имеет вид: t² − 9t − 22 ≤ 0 , откуда получаем:

(t + 2)(t −11) ≤ 0 , −2 ≤ t ≤11. Значит, −2 ≤ 2x ≤11, x ≤ log₂11.

2. Второе неравенство системы определено при

то есть при x < −1 и x > 2.

При допустимых значениях переменной получаем:

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 2 < x ≤ 2 + √3 .

3. Сравним log₂11 и 2 + √3 . Так как √3 > √2,25 =1,5, то

2 + √3 > 3,5 = log₂ (8⋅√ 2) > log₂ (8⋅1,4) = log₂( 11,2 ) > log₂11,

следовательно, log₂11< 2 + √3 .

Решение системы неравенств: ( 2; log₂11] .

Ответ:( 2; log₂11].

Комментарий.Если обоснованно получены оба ответа: x ≤ log₂11 и 2 < x ≤ 2 + √3 , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что log₂11< 2 + √3 , то такое решение оценивается в 2 балла.

На стороне BA угла ABC , равного 30⁰ , взята такая точка D, что AD = 2 и BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.