Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD

Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q –основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E –точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см.рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A. Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠B = 30°находим, что

PE =

Так как OA = R и AP =1, получаем: , следовательно,

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠E = 60°, находим:

В результате получаем уравнение:

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R² – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R₁ = 1, R₂ = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б).

Ответ:1 или 7.