Кубические сплайны.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИ.

В случаях, когда промежуток [a,b], на котором требуется заменить функцию f(x) велик, можно применить интерполяцию сплайнами.

Кубические сплайны.

Интерполяционные сплайны 3-го порядка - это функции, состоящие из кусков многочленов 3-го порядка. В узлах сопряжения обеспечивается непрерывность функции, ее первой и второй производных. Аппроксимирующая функция составляется из отдельных многочленов, как правило, одинаково небольшой степени, определенных каждый на своей части отрезка [a,b].

Пусть на отрезке [a,b] вещественной оси x задана сетка , в узлах которой определены значения функции f(x). Требуется построить на отрезке [a,b] непрерывную функцию-сплайн S(x), которая удовлетворяет следующим условиям:

1. На каждом отрезке сплайн является многочленом третьей степени:

(1)

2. В узлах сплайн принимает заданные значения , т.е.

(2)

3. Во внутренних узлах сплайн имеет непрерывную первую и вторую производные, т.е. в узлах сопряжения сплайнов их первые и вторые производные должны быть равны:

(3)

Для построения искомого сплайна требуется найти коэффициенты многочленов , i=1,…n, т.е. 4n неизвестных коэффициента, которые удовлетворяют 4n-2 уравнениям (1), (2), (3). Чтобы система уравнений имела решение, добавляют еще два дополнительных (краевых) условия. Используется три типа краевых условий:

I)

(4)

Сплайн, определяемый (4) называется естественным кубическим сплайном.

II)

(5)

III)

(6)

Условия (1), (2), (3) и одно из условий (4), (5), (6) образуют СЛАУ порядка 4n. Решение системы можно провести с помощью метода Гаусса. Однако, выбрав специальную форму записи кубического многочлена, можно существенно снизить порядок решаемой системы уравнений.