![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Специальная форма записи сплайна.Рассмотрим отрезок
Здесь
x – промежуточная точка на отрезке Когда x пробегает все значения на интервале Пусть кубический многочлен
Номер сплайна совпадает с индексом конечной точки отрезка
Переменные Найдем значение сплайна На конце отрезка Для интервала Для определения коэффициентов di , i=0,…n продифференцируем (8) дважды как сложную функцию от x. Тогда
где
Уменьшая в (10) индекс i на единицу, получим:
Определим вторые производные сплайна
Для многочлена
Для сплайна
Из (15) и (16) следует, что на отрезке [a,b]сплайн-функция, «склеенная» из кусков многочленов 3-го порядка, имеет непрерывную производную 2-го порядка. Чтобы получить непрерывность первой производной функции S(x), потребуем во внутренних узлах интерполяции выполнения условия:
Определим (10) и (12) в точке Приравнивая полученные выражения, приходим к системе уравнений:
Для естественного кубического сплайна
Решаемая система уравнений является линейной, а ее матрица трехдиагональной, симметричной. Такая матрица является невырожденной, и коэффициенты Если же требуется найти S(x) с краевыми условиями (3.5), то это приведет к дополнительным условиям:
и система уравнений (17) будет иметь вид:
Для краевых условий (6) получим:
и система уравнений (17) будет иметь вид:
Исходные данные:
Заменить функцию 1. Рассчитаем значение функции в узловых точках. Для этого подставим в заданную функцию значения из таблицы. 2. Для разных краевых условий (4), (5), (6) найдем коэффициенты кубических сплайнов. 2.1. Рассмотрим первые краевые условия.
В нашем случае n=3,
Вычислим
Подставим полученные значения в систему уравнений:
Решение системы: С учетом первых краевых условий коэффициенты сплайна: 2.2. Рассмотрим определение коэффициентов сплайна с учетом краевых условий (3.5):
Для n=3 система уравнений (19) примет вид:
Найдем производную функции Вычислим
Подставим в систему уравнений (21) значения
Решение системы уравнений:
2.3. Рассмотрим третьи краевые условия (6).
Используя формулу (20) определим d0 и d3:
Найдем вторую производную функции
Вычислим
и
Система уравнений (21)для определения
С учетом конкретных значений:
и вектор коэффициентов: 3. Рассчитаем значения кубического сплайна S(x) в серединах отрезков интерполяции. Середины отрезков: Для вычисления значения кубического сплайна в серединах отрезков интерполяции воспользуемся формулами (7) и (9). 3.1. Найдем В формулу (3.9) подставляем коэффициенты 3.2. Найдем В формулу (9) подставляем коэффициенты 3.3. Найдем В формулу (9) подставляем коэффициенты
|