Квадратичные сплайны.

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка , в узлах которой определены значения функции f(x). Требуется построить на отрезке [a,b] непрерывную функцию-сплайн S(x), которая удовлетворяет следующим условиям:

1. На каждом отрезке сплайн является многочленом второй степени:

(22)

2. В узлах сплайн принимает заданные значения , т.е.

(23)

3. Во внутренних узлах сплайн имеет непрерывную первую производную, т.е. в местах сопряжения квадратичных многочленов их первые производные должны быть равны:

(24)

Для построения искомого сплайна требуется найти коэффициенты многочленов , i=1,…n, т.е. 3n неизвестных, которые удовлетворяют (3n-1) уравнениям. Чтобы система имела решение, добавляют еще одно дополнительное условие, например:

(25)

Из условий (23), (24) и (25) составляется система, решение которой дает искомые коэффициенты.

Исходные данные:

i
		0,5	1,5

По заданным точкам требуется построить квадратичный сплайн. Найдем первую производную многочлена (22):

Система уравнений (23), (24) имеет вид:

(25)

После подстановки исходных данных в (25):

Отсюда:

Полученные сплайн-функции: