ГИПЕРБОЛА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5 ПУСТЬ ДВЕ ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКИ НА ОХУ ПЛОСКОСТИ. ГИПЕРБОЛА- ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК ТАКОЕ, ЧТО РАЗНОСТЬ РАССТОЯНИЙ ЕСТЬ ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА. ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ФОКУСАМИ ГИПЕРБОЛЫ. ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ФОКУСЫ

НАЗЫВАЕТСЯ ОСЬЮ ГИПЕРБОЛЫ. СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА НАЗЫВАЕТСЯ ЦЕНТРОМ ГИПЕРБОЛЫ.

ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ С ОСЬЮ НАЗЫВАЮТСЯ

Рис.10

ВЕРШИНАМИ ГИПЕРБОЛЫ (РИС.10).

В КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ЦЕНТР СИММЕТРИИ ГИПЕРБОЛЫ РАСПОЛОЖЕН В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ, А ФОКУСЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОХ ИЛИ ОУ. ГИПЕРБОЛА СИММЕТРИЧНА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ КООРДИНАТ.

ПРИМЕР 2.5. НАЙТИ УРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК ДЛЯ КОТОРЫХ РАЗНОСТЬ РАССТОЯНИЙ ОТ ДВУХ ТОЧЕК РАВНА 4.

ДАЛЕЕ ИМЕЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 2.5

УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ В КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

ТЕОРЕМА 2.5. ПУСТЬ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОХ В ТОЧКАХ .

ТОГДА ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО И ЕСЛИ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРБОЛЕ, ТО ОНИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ УРАВНЕНИЮ , (2.14)

ГДЕ (2.15)

Рис.11

В ОТЛИЧИЕ ОТ ПАРАБОЛЫ И ЭЛЛИПСА ГИПЕРБОЛА ИМЕЕТ АСИМПТОТЫ. ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО

ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛЫ, ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ УДАЛЕНИИ ТОЧКИ ГИПЕРБОЛЫ ОТ НАЧАЛА КООРДИНАТ,

ПРАКТИЧЕСКИ НЕОТЛИЧИМА ОТ ПРЯМОЙ ЛИНИИ. УРАВНЕНИЯ АСИМПТОТ ИМЕЮТ ВИД

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ГИПЕРБОЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АНАЛОГИЧНО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ ЭЛЛИПСА . НО У ГИПЕРБОЛЫ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ВСЕГДА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ.

ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЗАДАЮТСЯ УРАВНЕНИЯМИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

(2.16)

ТЕОРЕМА 2.6. ПУСТЬ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОУ В ТОЧКАХ . ТОГДА ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО И ЕСЛИ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРБОЛЕ, ТО ОНИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ УРАВНЕНИЮ , (2.17)

ГДЕ (2.18)

РИС.12

ГИПЕРБОЛА ИМЕЕТ АСИМПТОТЫ. ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛЫ НЕОГРАНИЧЕННО ПРИБЛИЖАЕТСЯ К ПРЯМЫМ ЛИНИЯМ

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ГИПЕРБОЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АНАЛОГИЧНО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ ЭЛЛИПСА . У ГИПЕРБОЛЫ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ВСЕГДА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ.

ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ (2.19)

ЗАМЕЧАНИЕ. ОБРАЩАЕМ ВНИМАНИЕ ЧИТАТЕЛЯ , ЧТО ПО ВИДУ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ МОЖНО СКАЗАТЬ НА КАКОЙ ОСИ ЛЕЖАТ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ.

ПРИВЕДЁМ ПРИМЕР ЧЕРТЕЖА ГИПЕРБОЛЫ, У КОТОРОЙ УРАВНЕНИЕ НЕ КАНОНИЧЕСКОЕ.

В ДЕКАРТОВОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, КОТОРАЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКОЙ, КРИВАЯ ВЫГЛЯДИТ ТАК. ЕСЛИ НАЧАЛО КООРДИНАТ ПЕРЕМЕСТИТЬ В ТОЧКУ , А ОСИ ПОВЕРНУТЬ СОГЛАСНО РИСУНКУ, ТО В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА СТАНОВИТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ (РИС.13)

РИС.13