Распределение Больцмана.

Молекулы воздуха в атмосфере Земли распределены неравномерно. С одной стороны, газ стремится занять весь предоставленный объём, с другой – действует притяжение к Земле. В результате действия этих двух конкурирующих факторов:

1) теплового движения;

2) притяжения Земли

устанавливается стационарное распределение молекул по высоте. Давление газа с высотой уменьшается по некоторому закону. Найдём его, предполагая, что:

1) газ – идеальный (подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона);

2) температура постоянна: ;

3) поле тяготения однородно: .

Рассмотрим вертикальный столб газа с площадью основания (рис.6.12). Давление на высоте обозначим ; на высоте давление равно (очевидно, ). На слой толщиной и массой , находящийся в равновесии, действуют силы:

1) – сила тяжести, её величину можно выразить через плотность газа и объём слоя :

;

2) – сила давления на высоте , направлена сверху вниз;

3) – сила давления на высоте , направлена снизу вверх.

Слой находится в равновесии, то есть силы, действующие на него, уравновешивают друг друга:

,

или в проекциях на вертикальную ось:

. (6.53)

Тогда

.

Далее, после сокращения:

. (6.54)

Газ – идеальный; запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

, тогда из (6.54): .

Последнее уравнение проинтегрируем по высоте, учтя, что и :

;

(6.54)

Поскольку , то

. (6.54а)

Это – барометрическая формула, показывающая, как давление уменьшается с высотой в поле силы тяжести.

Используя барометрическую формулу, найдём закон уменьшения концентрации молекул с высотой. Поскольку для идеального газа , , а произведение – потенциальная энергия молекулы в поле силы тяжести, то

. (6.55)

Полученное для молекул в однородном поле силы тяжестираспределение Больцмана (6.55) универсально: годится для частиц, находящихся в любом потенциальном поле. Из (6.55) найдём отношение концентраций и частиц в двух точках 1 и 2:

. (6.56)

Величина показывает, во сколько раз отличаются концентрации частиц в двух точках потенциального поля, если их потенциальные энергии отличаются на . Знак «минус» в (6.56) означает, что концентрация больше в тех точках, где потенциальная энергия меньше: всякая система с большей вероятностью будет находится в состоянии с наименьшей потенциальной энергией.

Распределение (6.56) – это распределение частиц по координатам, потому что потенциальная энергия зависит от координат частицы: . Можно объединить распределения по скоростям и по координатам. Пусть – доля частиц с координатами:

;

;

;

и с проекциями скоростей:

;

;

;

тогда по закону умножения вероятностей из (6.43) и (6.56):

,

где – полная энергия частицы.