Теоретическое введение

Лабораторная работа № 12

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Методические указания

Волгоград, 2014

Лабораторная работа № 12

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Цель работы: измерение тензора инерции твердого тела и построение его эллипсоида инерции.

Оборудование:лабораторная установка

Материал для изучения:теорема Гюйгенса-Штейнера,эллипсоид инерции твердого тела

Теоретическое введение

Момент инерции системы материальных точек I равен суме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения.

(1)

Момент инерции твердого тела относительно какой-либо оси в случае непрерывного распределения массы равен:

(2)

Установим зависимость между величинами моментов инерции тела для осей вращения, пересекающейся в одной точке. Определим момент инерции тела относительно некоторой оси вращения. OA (рис.1).

Рис.1

За начало координат выберем произвольную точку, которая находится в теле на этой оси. С осями координат направление которых выбрано произвольно, ось вращения составляет углы α, β, γ. Имеем по определению:

(3)

Учитывая, что

Из уравнения (3) получаем:

(4)

Выражение при квадратах косинусов направляющих углов, очевидно, представляет собой моменты инерции тела относительно координатных осей X,Y,Z. Введем следующее обозначение:

(5)

Совокупность девяти величин

I_xx I_xy I_xz

I_yx I_yy I_yz (6)

I_zx I_zy I_zz

Называют тензором инерции относительно точки О, а сами эти величины – компонентами тензора. Тензор инерции симметричен, то есть I_ij=I_ji . Поэтому он полностью определяется заданием шести компонентов.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию формулы (4). Для этого отложим от начала координат по всевозможным осям отрезки длиной , где I- момент инерции относительно этой оси. Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность. Найдем ее уравнение. Координаты конца любого отрезка запишутся в виде:

(7)

Отсюда имеем

Из этих соотношений и из уравнений (5 и6) получим уравнение поверхности в виде.

(8)

Эта поверхность второго порядка, очевидно, является эллипсоидом, т.к. момент инерции I, а с ним длина отрезков OD имеют конечные значения независимо от направления оси OA. Она называется эллипсоидом инерции тела относительно точки O, являющейся его центром.

Если координатные оси направить вдоль главных осей эллипсоида инерции, то в этой координатной системе в уравнении (4) пропадают члены, содержащие произведения координат, и это уравнении принимает вид:

(9)

Где I_X=I_XX I_Y=I_YYI_Z=I_ZZ. В этом случае момент инерции тела определяется не шестью, а тремя величинами. Три взаимно перпендикулярные оси, совпадающие с главными осями эллипсоида инерции тела относительно точки О называются главными осями инерции в этой точке. Для каждой точки О существуют, следовательно три взаимно перпендикулярные главные оси инерции в этой точке. Эллипсоид инерции относительно центра тяжести называется центральным, а его главные оси - главными центральными осями инерции. Для однородных симметричных тел главные центральные оси инерции-оси симметрии тела. Именно для этого случая проверяется экспериментально соотношение (9).