Примеры решения показательных уравнений и неравенств

Решить уравнение:

1) 1000^x=100

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:

10^3x=10²

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2
x=2/3

Ответ: x=2/3 .

Главное в показательных уравнениях - свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:

2) (2/5)^x=(5/2)⁴

Представим (2/5)^x как (5/2)^-x:

(5/2)^-x=(5/2)⁴

Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

-x=4
x=-4

Ответ: x=-4

3) √3^х=9

√3^х распишем как 3^x/2, а 9 - как 3²:

3^х/2=3²

Приравниваем показатели:

х/2=2
х=4

Ответ: x=4

4) 3^х2-х-2=81

Заметим, что 81=3⁴

3^х2-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

5) 4^х+1+4^х=320

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=320

4^х*5=320

Представим 320 в виде 5*4³, тогда:

4^х*5=5*4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

4^х=4³

Приравняем показатели:

х=3

Ответ: х=3

6) 7^х+2+4*7^х-1=347

Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7^x-1. Получаем:

7^х-1*(7³+4)=347

7^х-1*347=347

Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

7^х-1=1

Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 7⁰:

7^х-1=7⁰

Приравняв показатели, получим:

х-1=0

х=1

Ответ: х=1

7) 4^х-5*2^х+4=0

Представим 4^х как 2^2х, получим:

2^2х-5*2^х+4=0

Введем подстановку: 2^х обозначим переменной t. Cледовательно: 2^2х=t². Получим:

t²-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t₁=1

t₂=4

Заменим t на 2^х:

2^х=1

Заметим, что 2⁰=1

2^х=2⁰

Приравняем показатели:

х=0

2^х=4

Заметим, что 4=2²

2^х=2²

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.

Ответ: х=0 и х=2

Решить неравенство:

1) 4^5-2x<0,25.

Представим правую часть в виде: 0,25=(²⁵/₁₀₀)=(¹/₄)=4^-1;

4^5-2x<4^-1; функция у=4^х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

5-2x<-1; — 2x<-1-5; — 2x<-6 |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный: x>3.

Ответ: (3; +∞).

2) 0,4^2х+1≥0,16.

Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем: 0,4^2х+1≥0,4²; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

2х+1≤2; 2х≤2-1; 2х≤1 |:2 x≤0,5.

Ответ: (-∞; 0,5].

3) 2^3-x+2^1-x>40. Применим формулу: a^x+y=a^x∙a^y. Запишем неравенство в виде:

2³∙2^-x+2¹∙2^-x>40; Вынесем общий множитель за скобки:

2^-x∙(2³+2¹)>40; упрощаем левую часть:

2^-x∙(8+2)>40;

2^-x∙10>40 |:10

2^-x>4;

2^-x>2²; основание степени — число 2>1, значит, знак неравенства сохраняем:

— x>2 |:(-1) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число — знак неравенства меняют на противоположный: x<-2.

Ответ: (-∞; -2).

Текст задания

Показательные уравнения и неравенства Вариант 1
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Найдите сумму корней уравнения :	1) 2) 3) 4)
А2	Если - корень уравнения , то значение выражения равно	1) 2) 3) 4)
А3	Найдите произведение корней уравнения	1)- 2) 3) 4)
А4	Найдите наименьшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Решите уравнение
В2	Решите неравенство:
В3	Если и - решение системы уравнений то значение выражения равно
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	При каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень

Показательные уравнения и неравенства Вариант 2
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Найдите сумму корней уравнения :	1) 2) 3) 4)
А2	Если - корень уравнения , то значение выражения равно	1) 2) 3) 4)
А3	Найдите произведение корней уравнения	1)- 2) 3) 4)
А4	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите наименьшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Решите уравнение
В2	Решите неравенство:
В3	Если и - решение системы уравнений то значение выражения равно
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	При каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень

Показательные уравнения и неравенства Вариант 3
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Найдите сумму корней уравнения :	1) 2) 3) 4)
А2	Если - корень уравнения , то значение выражения равно	1) 2) 3) 4)
А3	Найдите произведение корней уравнения	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите наименьшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Решите уравнение
В2	Решите неравенство:
В3	Если и - решение системы уравнений то значение выражения равно
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	Найдите все значения , при которых уравнение имеет ровно два корня.

Показательные уравнения и неравенства Вариант 4
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Найдите сумму корней уравнения :	1) 2) 3) 4)
А2	Если - корень уравнения , то значение выражения равно	1) 2) 3) 4)
А3	Найдите произведение корней уравнения	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите наименьшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Решите уравнение
В2	Решите неравенство:
В3	Если и - решение системы уравнений то значение выражения равно
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	Найдите все значения , при которых уравнение имеет ровно один корень.

Практическая работа № 7

Тема: Логарифм числа. Логарифмическая функция и её свойства

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению логарифмов и свойств логарифмической функции.

Теоритическое обоснование: