Логарифмическая функция.
Определение. Функцию, заданную формулой y =logax, называют логарифмической функцией с основанием а.
1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R+, т. е. D(loga)=R+. 2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).
Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; loga 1 =0 при любом а>0, так как а0 = 1.
Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0<a<1—отрицательные.
Если 0<а<1, то y=logax убывает на R+, поэтому loga x>0 при 0<x<1 и logax<0 при х>1.
Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = loga х при а>1 (рис. 1, а) и0<а<1 (рис. 1,б).
Справедливо следующее утверждение: Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х
Текст задания
1. Выполните действия:
Свойства логарифмов Вариант 1
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А2
| Упростите:
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А4
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А6
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А7
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А8
| Вычислите
| 1) 2) 3) 4)
| Свойства логарифмов Вариант 2
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А2
| Упростите:
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А4
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А6
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А7
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А8
| Вычислите
| 1) 2) 3) 4)
|
Свойства логарифмов Вариант 3
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А2
| Упростите:
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А4
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А6
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А7
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А8
| Вычислите
| 1) 2) 3) 4)
| Свойства логарифмов Вариант 4
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А2
| Упростите:
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А4
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А6
| Вычислите:
| 1) 2) 3) 4)
| А7
| Найдите значение выражения:
| 1) 2) 3) 4)
| А8
| Вычислите
| 1) 2) 3) 4)
|
2.Определите множество значений функции:
А1
| Определите множество значений функции:
| 1) 2) 3) 4)
| А2
| Определите множество значений функции:
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Определите множество значений функции:
| 1) 2) 3) 4)
| А4
| Определите множество значений функции:
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Определите множество значений функции:
| 1) 2) 3) 4)
| А6
| Определите множество значений функции:
| 1) 2) 3) 4)
| А8
| Определите множество значений функции:
| 1) 2) 3) 4)
| Практическая работа № 8
Тема: Решение логарифмических уравнений и неравенств
Цель работы: закрепить знания и умения студентов при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Теоритическое обоснование:
Логарифмическое уравнение
Определение: Логарифмическое уравнение – это уравнение вида
loga b(x) = loga c(x), где а > 0, a ≠ 1.
Уравнения, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими уравнениями.
Пример.
Решим уравнение
log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).
Решение.
1) Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов и прийти к уравнению вида b(x) = c(x):
x2 – 3x – 5 = 7 – 2x
2) Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:
x2 – 3x – 5 – 7 + 2x = 0
x2 – x – 12 = 0
Решив квадратное уравнение, находим его корни:
x1 = 4, x2 = –3.
3) Проверим, при каком из двух значений х уравнение имеет смысл.
Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению b(x) = c(x) только в том случае, если b(x) > 0 и c(x) > 0. Следовательно, выводим два неравенства:
x2 – 3x – 5 > 0,
7 – 2x > 0.
При х = 4 неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения.
При х = –3 неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением уравнения.
Логарифмическое неравенство
Определение: Логарифмическое неравенство – это неравенство вида
loga b(x) > loga c(x), где а > 0, a ≠ 1.
Неравенства, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими неравенствами.
Если b(x) > 0 и c(x) > 0, то:
- при a > 1 логарифмическое неравенство loga b(x) > loga c(x) равносильно неравенству b(x) > c(x);
- при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство loga b(x) > loga c(x) равносильно неравенству с противоположным смыслом b(x) < c(x)
Пример.
Решим неравенство log3 (2x – 4) > log3 (14 – x).
Решение.
1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит, можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3 больше 1, то, следуя правилу, составляем следующую систему неравенств:
│ 2x – 4 > 0 │14 – x > 0 │2x – 4 > 14 – x.
Решаем неравенства и получаем:
│x > 2 │x < 14 │x > 6
Мы видим, что х больше не только двух, но и больше шести. Значит, неравенство x > 2 мы уже в расчет не берем: если х больше 6, то естественно и больше 2. Таким образом, для нас важны только два других неравенства, согласно которым х больше 6, но меньше 14. Это и есть ответ:
6 < x < 14.
Текст задания:
Решение логарифмических уравнений и неравенств Вариант 1
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Если - корень уравнения , то значение выражения равно
| 1) 2) 3) 4)
| А2
| Найдите произведение корней уравнения
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Найдите сумму корней уравнения
| 1) 2) 3) 4)3
| А4
| Найдите наибольшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Найдите область определения функции
| 1) 2) 3) 4)
| В) Напишите правильный ответ
| В1
| Найдите произведение корней уравнения
| В2
| Укажите количество целых решений неравенства:
| В3
| Если и - решение системы уравнений то значение выражения равно
| С) Приведите подробное решение данного задания.
| С
| При каких значениях параметра уравнение не имеет корней
| Решение логарифмических уравнений и неравенств Вариант 2
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Если - корень уравнения , то значение выражения равно
| 1) 2) 3) 4)
| А2
| Найдите произведение корней уравнения
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Найдите сумму корней уравнения
| 1) 2) 3) 4)3
| А4
| Найдите наибольшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Найдите область определения функции
| 1) 2) 3) 4)
| В) Напишите правильный ответ
| В1
| Найдите наименьший корень равнения
| В2
| Укажите количество целых решений неравенства
| В3
| Если и - решение системы уравнений то значение выражения равно
| С) Приведите подробное решение данного задания.
| С
| При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два корня
| Практическая работа № 9
Тема: Решение квадратных, показательных и логарифмических неравенств.
Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению темы корни и степени.
Текст задания:
Решение неравенств Вариант 1
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А2
| Найдите сумму целых решений неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А4
| Найдите наименьшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Решите неравенство:
| 1) 2) 3) 4)
| А6
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А7
| Найдите наибольшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А8
| Найдите область определения функции
| 1) 2) 3) 4)
| Решение неравенств Вариант 2
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А2
| Найдите сумму целых решений неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А4
| Найдите наибольшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А6
| Решите неравенство:
| 1 ) 2)
3) 4)
| А7
| Найдите наименьшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А8
| Найдите область определения функции
| 1) 2) 3) 4)
|
Решение неравенств Вариант 3
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А2
| Найдите сумму целых решений неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А4
| Найдите наименьшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Решите неравенство:
| 1) 2) 3) 4)
| А6
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А7
| Найдите наибольшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4) 1
| А8
| Найдите область определения функции
| 1) 2) 3) 4)
| Решение неравенств Вариант 4
| А) Выберите номер правильного ответа
| А1
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А2
| Найдите сумму целых решений неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А3
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А4
| Найдите наибольшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А5
| Решите неравенство:
| 1) 2) 3) 4)
| А6
| Решите неравенство:
| 1) 2)
3) 4)
| А7
| Найдите наибольшее целое решение неравенства
| 1) 2) 3) 4)
| А8
| Найдите область определения функции
| 1) 2) 3) 4)
|
Практическая работа № 10
Тема: Определение тригонометрических функций. Преобразование простейших тригонометрических выражений
Цель работы: закрепить знания и умения студентов применять основные тригонометрические формулы.
Теоритическое обоснование:
|