Краткая теория. Гармоническим осциллятором называется колеблющаяся система, обладающая одной степенью свободы и совершающая колебания под действием «квазиупругой» силы

Гармоническим осциллятором называется колеблющаяся система, обладающая одной степенью свободы и совершающая колебания под действием «квазиупругой» силы, пропорциональной смещению из положения равновесия (подобно силе упругости в законе Гука)

. (4.1)

Гармонические колебания осциллятора описываются уравнением вида:

, (4.2)

где – вторая производная смещения осциллятора x из положения равновесия по времени,

–циклическая, или круговая частота колебаний.

Примером гармонического осциллятора является крутильный маятник. Он представляет собой массивное тело, подвешенное на тонкой упругой струне (нити). При повороте маятника из положения равновесия на некоторый малый угол j вокруг оси, совпадающей с нитью подвеса, происходит закручивание этой нити. При деформации кручения в нити возникает упругая сила, возвращающая маятник в положение равновесия, и создающая вращающий момент, который определяется соотношением, аналогичным закону Гука для упругих деформаций типа «растяжения-сжатия», а именно

, (4.3)

где D – коэффициент пропорциональности, или постоянная, характеризующая момент упругих сил, аналогичная жесткости k пружины;

j – малый угол закручивания, характеризующий величину деформации.

Предоставленный самому себе, маятник совершает крутильные колебания. Затухания таких колебаний обычно малы, что делает их удобными для измерения различных физических величин, например момента инерции твердого тела произвольной формы.

Для незатухающих колебаний справедливо уравнение динамики вращательного движения:

, (4.4)

где e – угловое ускорение крутильного маятника;

I_м – момент инерции маятника относительно оси, совпадающей с нитью подвеса.

По определению

, (4.5)

поэтому

. (4.6)

Используя равенство (4.3), можем получить уравнение:

, (4.7)

или

, (4.8)

где – циклическая частота гармонических незатухающих колебаний крутильного маятника.

Как видно, уравнение (4.8) имеет вид, аналогичный (4.2), т.е. описывает гармонический осциллятор.

Период Т гармонических колебаний, как известно, связан с циклической частотой:

. (4.9)

Поэтому Т можно рассчитать так:

. (4.10)