![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Краткая теория. В данной работе изучаются свободные незатухающие гармонические колебания, подчиняющиеся следующему закону:В данной работе изучаются свободные незатухающие гармонические колебания, подчиняющиеся следующему закону:
В этом уравнении: А – амплитуда колебаний, т.е. наибольшее отклонение маятника из положения равновесия,
Математическим маятником называют идеальную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Отклонение маятника от положения равновесия можно характеризовать углом j, образованным нитью с вертикалью (рис. 3.1). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент М, созданный силой
где m – масса, l – длина маятника. Уравнение динамики для вращательного движения имеет вид:
где I – момент инерции маятника, равный ml2 (для материальной точки),
Приравняв выражения (3.3) и (3.4), получим
Приведем уравнение к виду
В случае малых колебаний
то получим дифференциальное уравнение второго порядка:
Оно имеет решение (сравните с 3.1)
Из формул (3.2) и (3.7) выразим период колебаний математического маятника
где l – длина математического маятника. Полученное соотношение (3.10) может быть использовано для определения ускорения свободного падения g. Для этого необходимо измерить Т, и l и выразить через них g с помощью формулы (3.10). Физический маятник Физическим маятником называют тело массой m произвольной формы и размеров, свободно колеблющееся вокруг оси, не проходящей через центр тяжести (рис. 3.2). При отклонении маятника на небольшой угол j он начнет колебаться около положения равновесия под действием составляющей где m – масса,
Рис. 3.2 – Физический маятник Используя основной закон динамики вращательного движения (
где e – угловое ускорение (см. 3.3), I0 – момент инерции маятника относительно оси качания О. При малых углах отклонения маятника от положения равновесия Приведем уравнение (3.9) к виду и введя обозначение
имеем,
или
Частным решением дифференциального уравнения (3.13) является:
где
Период колебания
Достоинством метода оборотного физического маятника для определения ускорения свободного падения является то, что I0 и l не входят в расчетную формулу для g. Перейдем к обсуждению этого метода. Согласно теореме Штейнера, момент инерции относительно оси качания О
где Iс – момент инерции маятника, относительно оси, параллельной оси качания и проходящей через центр масс С маятника. Подставляя (3.17) в (3.16), получаем
Попробуем найти такие два положения l1 и l2 (l1¹l2) опорных призм по разные стороны от центра масс, чтобы периоды колебаний маятника совпадали: Т(l1) = Т(l2). Как видно из (3.18), для этого необходимо выполнение равенства
которое имеет место либо при l1=l2, либо при
В последнем случае период колебаний маятника
Следовательно, ускорение свободного падения может быть определено по формуле:
Как видно из (3.21), для нахождения g достаточно измерить только две величины: расстояние (l1+l2) между опорными ребрами призм, период колебаний маятника в положении l1 и в «перевернутом» положении l2, при котором l1¹l2. При этом периоды колебаний должны совпадать, т.е. должно выполняться равенство: Т(l1)=Т(l2)=Т. Из формул (3.8) и (3.16) видно, что математический маятник с длиной Величина lпр называется приведенной длиной физического маятника. Значит, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, у которого период совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
|