Общие теоретические сведения. Система mn чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов, называется матрицей

Система mn чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов, называется матрицей. Если m=n, то матрица называется квадратной, иначе прямоугольной. Над матрицами могут быть выполнены операции сложение матриц, умножение матрицы на число, на вектор.

Если матрица имеет размер 1 x n, то она называется вектором-строкой, а m x 1 – вектором-столбцом.

Если в матрице переставить строки и столбцы местами, то получим транспонированную матрицу.

Обратной матрицей по отношению к данной, называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. При умножении матриц результирующая матрица имеет такое количество строк, как матрица слева, а количество столбцов как матрица справа. Для освоения методов работы с матрицами рассмотрим пример.

Пример 1. Умножить матрицу А_2,3 на матрицу В_3,3 и получить матрицу С_2,3.

1. Задать значения элементам матриц A_2,3, В_3,3.

2. Выделить место для результирующей матрицы С2,3.

3. В строку формул записать знак равно (=).

4. С помощью мастера функций найти функцию МУМНОЖ.

5. Задать для нее исходные данные (указать с помощью мыши адреса матриц А и В).

6. Активизировать строку формул.

7. Нажать 3 клавиши Ctrl+Shift+Enter.

8. В результирующей матрице получим результат (рис. 1).

Рис. 1. Результат перемножения матриц

Пример 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

Задана система линейных уравнений (1)

x1+2•x2+3•x3 = 4

4•x1+3•x2+2•x3=1 (1)

x1+3•x2+2мx3 = 4

В матричной форме система (1) имеет вид

А_3,3 • Х_3,1 =В_3,1 (2), где А_3,3-матрица коэффициентов при неизвестных

B_3,1 – вектор правых частей.

Вектор неизвестных Х_3,1 может быть найден по формуле

Х_3,1=А_3,3^-1 • В_3,1 (5)

А_3,3^-1 – обратная матрица.

Решение задачи выполнить в таблице.

1. Ввести в таблицу значения матрицы коэффициентов А_3,3.

2. Ввести в таблицу значения вектора В_3,1.

3. Выделить место для обратной матрицы А_3,3^-1.

4. Вызвать мастер функций, отыскать функцию МОБР для вычисления обратной матрицы.

5. Ввести в диалоговое окно параметров функции адрес исходной матрицы коэффициентов мышью.

Проверить записанный адрес. Если все нормально, щелкнуть мышью по строке формул (в ней появится курсор) и нажать 3 клавиши одновременно Ctrl+Shift+Enter. В выделенных ячейках появятся значения обратной матрицы.

6. Выделить место для результата (вектор неизвестных) Х_3,1.

7. С помощью мастера функций найти функцию МУМНОЖ.

8. Ввести в диалоговое окно два адреса:

• адрес обратной матрицы (массив1);
• адрес вектора правых частей (массив2).

9. Активизировать строку формул, чтобы в ней появился курсор и нажать клавиши Ctrl+Shift+Enter (рис. 2).

Рис. 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений

Пример 3. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера (через определители). Работа со склеенными листами.

Если данные для каких-то таблиц повторяются, то их лучше набирать в режиме «склеенных листов». Можно склеивать подряд стоящие листы, не подряд стоящие или вообще все листы рабочей книги.

Пусть необходимо склеить три подряд стоящих листа (Лист1, Лист2, Лист3). Для этого производим щелчок левой кнопки мыши по ярлычку Лист1, затем нажимаем клавишу Shift и производим щелчок по ярлычку Лист3. Тогда все три ярлычка станут светлее. Чтобы расклеить листы, выполнить щелчок правой кнопкой мыши по ярлычку Лист1 и выбрать команду Разгруппировать листы.

Для выполнения задания склеим 4 листа. Матрицу исходных коэффициентов и вектор правых частей поместить на склеенные листы. Затем расклеить листы. На листах 2, 3, 4 столбцы при неизвестных заменить векторами правых частей для вычисления определителей неизвестных: на листе2 в 1-ый столбец, на листе3 во 2-ой столбец и на листе4 в третий столбец. Вычислить определители на каждом листе, используя функцию МОПРЕД. Для вычисления значения неизвестных разделить определитель для соответствующей переменной на общий определитель для матрицы исходных коэффициентов, так для вычисления х1 разделить определитель на листе2 на определитель на листе1, для х2 – определитель на листе3 на определитель на листе1 и т. д. Ввод формул выполнять только в строку формул.

С дополнительным материалом по теме можно ознакомиться в литературе [1, 3, 4, 7].

Видеоурок по выполнению заданий лабораторной работы