Характеристики качества цифровых управляющих систем (ЦУС).

Математическое ожидание длины интервала времени между последовательными моментами поступления заявок

Дисперсия интервала времени между последовательными моментами поступления заявок :

Вычислим вероятность появления коротких интервалов между двумя последовательными заявками, длина которых меньше мат. ожидания :

(3)

Таким образом, короткие интервалы более частые, чем длинные, т.е. при простейшем потоке создаются боле тяжёлые условия работы системы по сравнению с другими распределениями потоков заявок.

Для простейшего потока число заявок, поступающих в систему за интервал времени , распределено по закону Пуассона:

( ), (4)

где - вероятность того, что за время в систему поступит заявок,

- интенсивность потока заявок.

Мат. ожидание и дисперсия распределения Пуассона:

Нестационарный поток с интенсивностью , который описывается законом распределения Пуассона, называется пуассоновским, но не простейшим, поскольку не выполняется свойство стационарности.

Простейший поток обладает следующими особенностями:

1. Сумма N независимых, стационарных, ординарных потоков с интенсивностями _i (I=1,…,N) сходится к простейшему потоку с интенсивностью при условии, что складываемые потоки оказывают более или менее одинаковое влияние на суммарный поток (т.е. сравнимы по интенсивности).

Т.о. для выяснения свойств суммарного потока достаточно знать лишь интенсивности суммируемых потоков и не требуется знать внутреннюю структуру этих потоков.

Простейший поток обладает устойчивостью, состоящей в том, что при суммировании независимых простейших потоков получается простейший поток, при этом интенсивности складываемых потоков суммируются.

2. Поток заявок, полученный путём случайного разрежения исходного потока, когда каждая заявка с определённой вероятностью р исключается из потока независимо от того, исключены ли другие заявки, образует простейший поток с интенсивностью , где - интенсивность исходного потока. В отношении исходного потока заявок делается предположение лишь об ординарности и стационарности.

3. Так как простейший поток создаёт более сложный режим работы системы, то предположение о том, что на вход системы поступает простейший поток заявок, приводит к определению предельных характеристик качества обслуживания. Если реальный поток отличен от простейшего, то система будет функционировать не хуже, чем это следует из полученных оценок.

4. Интервал времени между произвольным моментом времени и моментом поступления очередной заявки имеет такое же распределение (1) с тем же средним , что и интервал времени между двумя последовательными заявками. Эта особенность простейшего потока – следствие отсутствия последействия.

Длительность обслуживания заявок.

Длительность обслуживания заявки равна интервалу времени, необходимому прибору для обслуживания заявки. В общем случае это случайная величина с законом распределения B(τ) и математическим ожиданием . Типы заявок различаются либо законами распределения, либо только средними значениями длительности обслуживания при одинаковых законах распределения. При этом предполагается независимость длительностей обслуживания для различных заявок одного типа, что справедливо для большинства реальных систем. Длительность обслуживания заявки процессором определяется временем выполнения соответствующей программы. В случае малой разветвленности программы, когда число выполняемых операций практически постоянно, длительность обслуживания может считаться постоянной и равной . В общем случае прикладные программы реализуют сложные алгоритмы с большим числом разветвлений. Количество операций, выполняемых в процессе обслуживания заявки, т.е. путь реализации алгоритма, определяется состоянием управляемого объекта, т.е. данными, поступающими в управляющую систему. При этом время выполнения программы рассматривается как случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией D. Если известно только среднее время θ^* выполнения программы и отсутствуют сведения о законе распределения, то время выполнения программы целесообразно аппроксимировать экспоненциальным распределением следующего вида:

(5)

Аппроксимация (5) целесообразна по следующим причинам:

1. Использование экспоненциального распределения упрощает математическую модель.

2. Получаемые оценки являются предельными. Например, время обслуживания при других законах распределения, у которых коэффициенты вариации <1, оказывается не большим, чем при экспоненциальном распределении.

Экспоненциальное распределение длительности обслуживания имеет следующее свойство: интервал времени от любого случайного момента времени до момента окончания обслуживания заявки имеет то же экспоненциальное распределение с тем же средним, что и длительность обслуживания заявки.

τ

t^*

t₁ τ₂ t₂

t₁ и t₂ – моменты начала и окончания обслуживания, длительность которого τ. Тогда для случайного момента t^* интервал времени имеет тот же закон распределения, что и τ, т.е. закон распределения (5) со средним ^*.

Отсюда следует, что при экспоненциальном законе распределения длительности обслуживания в случае прерывания обслуживания время дообслуживания заявки является случайной величиной с тем же законом распределения, что и длительность обслуживания, т.е. процессы обслуживания и дообслуживания протекают одинаково. Это свойство экспоненциального распределения является следствием отсутствия последействия, присущего всем процессам с экспоненциальным распределением интервалов времени.

Интенсивность обслуживания характеризует среднее количество заявок, которое может быть обслужено в единицу времени.

Лекция. Характеристики качества функционирования ЦУС.