Характеристики ЦУС при одномерном потоке заявок

Одной из важнейших характеристик качества функционирования ЦУС является загрузка:

(1)

где λ- интенсивность поступления заявок в систему, μ- интенсивность обслуживания заявок.

Заменяя в формуле (1) величиной , получим . Значение определяет среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки. Наряду с этим величина загрузки характеризует долю времени, в течении которого обслуживающий прибор занят обслуживанием заявок, и одновременно вероятность того, что в произвольный момент времени обслуживающий прибор работает (не простаивает). Покажем это. Пусть рассматриваемая система функционирует в течение достаточно большого периода времени T. За время T в систему поступит заявок, которые будут обслужены за время , где - средняя длительность обслуживания. Тогда доля времени, в течение которого система была занята обслуживанием заявок,

Поскольку загрузка - вероятность того, что система работает, то вероятность простоя определяется значением:

– коэффициент простоя

При этом предполагается, что ρ<1, что справедливо для всех реальных систем.

Все время работы системы можно разделить на два интервала: интервал переходного режима работы системы от момента начала работы до момента входа в стационарный режим и интервал стационарного режима.

Стационарным или установившемся режимом называется такой режим работы, при котором вероятностные характеристики функционирования системы не изменяются во времени. Условие существования стационарного режима определяется значением загрузки <1. Если >1, т.е. интенсивность поступления заявок превышает интенсивность обслуживания, то работа системы характеризуется неограниченным возрастанием длины очереди заявок перед обслуживающим прибором, т.е. не существует стационарного режима работы системы. Случай =1 требует особого рассмотрения.

Качество функционирования ЦУС определяется временем пребывания заявок в системе , где - время ожидания заявки в очереди, - время обслуживания заявки в процессоре. В общем случае:

w=w^н+w^п

где ^н - время ожидания начала обслуживания, равное интервалу времени от момента поступления заявки в систему до момента, когда заявка первый раз принимается на обслуживание, ^п - время ожидания в прерванном состоянии, связанное с прерыванием обслуживания данной заявки и ожиданием дальнейшего обслуживания. Если обслуживание заявки не прерывается, то ^п =0 и = ^н .

С изменением дисциплины обслуживания время обслуживания не изменяется. Наряду с временем пребывания заявки в системе как характеристику качества функционирования ЦУС можно использовать время ожидания заявки в очереди w. Именно для этой характеристики получено большинство аналитических результатов. Рассмотрим остальные характеристики обслуживания заявок, такие как средняя длина очереди и среднее число заявок в системе.

Для систем с неограниченным ожиданием, когда поступившая заявка ожидает в очереди обслуживания сколь угодно долго, не покидая систему, средняя длина очереди , где - интенсивность поступления заявок в систему. Это выражение очевидно, если учесть, что за время ожидания w в очереди одной заявки в среднем поступает заявок, которые ожидают в очереди начала обслуживания.

Аналогичными рассуждениями можно получить выражение для среднего числа заявок в системе:

.

В данном случае загрузка рассматривается как среднее число заявок, обслуживаемых в процессоре ЦУС. Действительно, в процессоре в каждый момент времени с вероятностью находится одна заявка на обслуживании и с вероятностью 1- - нуль заявок (процессор простаивает). Поэтому среднее число заявок, обслуживаемых в процессоре, равно .