Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Объеме выборки

Читайте также:
  1. Алгоритм выборки сообщений из очереди потока
  2. Анкетирование: определение объема выборки
  3. Виды выборки, способы отбора и ошибки выборочного наблюдения
  4. Выборочное наблюдение: понятие, виды, ошибки выборки, оценка результатов. Примеры решения задач
  5. Выборочные оценки и ошибки выборки
  6. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки
  7. Задание условий выборки
  8. Контроль надежности методом двухкратной выборки
  9. Контроль надежности методом двухкратной выборки.
  10. Нахождение числовых характеристик выборки

 

Классическая теория, основанная на нормальном законе распределения, при малых выборках неприменима. В этом случае используются другие законы распределения, разработанные микростатистикой: распределения Стьюдента и Фишера.

- распределение Стьюдента.Известно, что если из нормально распределенной совокупности значений случайной величины путем - кратного независимого выбора взять выборки объемом , то средние значения этих выборок будут тоже распределены нормально с тем же средним значением, но с меньшей дисперсией, т.е.

.

Отношение отклонения выборочного среднего значения от его математического ожидания (среднее значение генеральной совокупности) к основной ошибке называется статистикой. Эта статистика имеет нормальное распределение с равным нулю средним значением и равной 1 дисперсией

.

При научных исследованиях дисперсия генеральной совокупности почти всегда неизвестна и поэтому нельзя выполнить нормирование. По выборке можно определить несмещенную оценку дисперсии

.

Отклонение выборочного среднего значения от среднего значения генеральной совокупности, нормированное при помощи этой оценки, называется статистикой:

.

При =30 - распределение практически мало отличается от нормального распределения. При малых значениях - распределение заметно отличается от нормального распределения. Оно более островершинное.

- распределение Фишера.Рассмотрим распределение статистики . Имеются две независимые выборки разных объемов, средние значения которых и . По данным этих выборок получены оценки и дисперсий генеральных совокупностей с числами свободы и .

Требуется выяснить, являются ли эти оценки существенно различными, или данные выборки можно рассматривать как взятые наудачу из нормальных генеральных совокупностей, имеющих равные дисперсии .

Для решения этой задачи применяется статистика , называемая дисперсионным отношением. Статистика представляет отношение оценок и , полученных из независимых выборок, взятых наудачу из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией :

при > .

- распределение Фишера выражает вероятность того, что некоторое значение будет больше или равно :

- распределение не зависит от дисперсии генеральной совокупности, а зависит от чисел степеней свободы. График плотности распределения приведен на рис. 1.8.



 

Рис. 1.8. - распределение Фишера

 

Статистика чаще всего применяется при дисперсионном анализе, в котором требуется только односторонний критерий значимости. Нулевая гипотеза, которая проверяется при помощи статистики , состоит в том, что выборки взяты из одной нормальной генеральной совокупности или из разных нормальных генеральных совокупностей, имеющих равные дисперсии.

Распределения Фишера и Стьюдента используются при формировании выборки из выборок малого объема и установлении статистической значимости случайных величин, параметров и уравнений.

Малая выборка содержит мало информации об интересующем свойстве. Для получения более надежных выводов требуется объединить малые выборки в одну, но при этом необходимо установить их однородность. Совокупности однородны, если их математические ожидания равны.

Критериями для сравнения выборок служат: равенство двух выборочных дисперсий, равенство двух выборочных средних и однородность ряда выборочных дисперсий.

Критерий однородности ряда дисперсий.Однородность дисперсий ошибок измерений случайной величины в случае равного объема выборок оценивают по критерию Кохрена, расчетное значение которого определяют по формуле



,

где - дисперсия ошибок измерения СВ - й выборки; - число выборок.

Критическое значение критерия определяют по таблице (приложение 1) при заданных значениях уровня значимости и степенях свободы: ; , где - число измерений (объем выборки).

Пример 1.3.При определении предела прочности получены следующие значения дисперсий ошибок измерений пяти партий бетона: 2,5; 2,8; 3,2; 2,4; 2,7. Ошибки во всех случаях подсчитывались по 17 – ти измерениям.

Оценить однородность дисперсий ошибок измерений прочности, т.е. возможность проведения дисперсионного анализа.

Определяем расчетное значение критерия

= =0,235.

Критическое значение критерия при и равно 0,3645. Таким образом, , гипотеза об однородности дисперсий ошибок измерений подтверждается с вероятностью 95 % и можно проводить дисперсионный анализ. Результаты расчета в среде ЭТ приведены в таблице 1.5.

 

Т а б л и ц а 1.5

Расчет в среде ЭТ

Критерий равенства двух дисперсий.Для сравнения дисперсий двух выборок используют - критерий Фишера. Определяют расчетное значение - критерия в виде отношения большей дисперсии к меньшей

.

Так как проверяется гипотеза о равенстве генеральных дисперсий, то желательно, чтобы это отношение было как можно ближе к единице. Критическое значение - критерия вычисляем с помощью статистической функции РАСПОБР. Число степеней свободы принимают соответственно , где - объем выборки. Гипотеза о равенстве дисперсий подтверждается, если .

Критерий равенства двух средних.Для сравнения двух выборочных средних используют - статистику. После проверки гипотезы о равенстве двух выборочных дисперсий, вычисляют общую дисперсию двух выборок и расчетное значение - статистики по формулам:

.

Критическое значение - статистики определяем с помощью статистической функции СТЬЮДРАСПОБР. Число степеней свободы . Гипотеза о равенстве средних значений подтверждается, если .

Пример 1.4. Сравним результаты испытаний двух выборок образцов бетона. В первой выборке объемом 29 образцов средний предел прочности =40,1 МПа, дисперсия =8,2. Во второй выборке объемом 13 образцов средний предел прочности =40,9 МПа, дисперсия =7,1.

Расчетное значение - критерия:

=8,2/7,1=1,155.

Диалоговое окно функции РАСПОБР представлено на рис. 1.9.

Степени свободы

=28+12=40. Критические значения - критерия при различных значениях уровня значимости приведены в таблице 1.6.

 

Рис. 1.9. Диалоговое окно функции FРАСПОБР

Т а б л и ц а 1.6

Результаты расчета в среде ЭТ

 

 

Так как расчетное значение - критерия меньше критических значений при всех уровнях значимости, то гипотеза о равенстве дисперсий подтверждается.

Определим общую дисперсию

Вычислим расчетное значение - статистики.

Критические значения - статистики при различных значениях уровня значимости приведены в таблице 1.6.

.

Расчетное значение - статистики при всех уровнях значимости меньше критического значения. Следовательно, между средними значениями прочности бетона двух выборок нет существенного различия.

Для установления статистической значимости случайной величины определяют расчетное значение - статистики по формуле

и сравнивают его с критическим значением . Если , то СВ статистически значима.

Пусть при испытании 5 – ти образцов оказалось, что среднее значение прочности на сжатие равно МПа, а стандартное отклонение МПа.

Расчетное значение

.

Критическое значение при равно . Так как , то данное среднее значение прочности на сжатие статистически значимо.

 


Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 33; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Законы распределения случайных величин при малом | Однофакторный дисперсионный анализ
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты