![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример выполнения задания. Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы
3.3.1. Условие примера Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы Масса груза m=0,8 кг, амплитуда возмущающей силы Определить коэффициент с упругости пружины для значения коэффициента динамичности Найти уравнение движения груза при заданных начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины. Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0. При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь. Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При значении коэффициента затухания
3.3.2. Решение примера Определим коэффициент с упругости пружины. При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности вычисляется по формуле
откуда
С другой стороны, квадрат круговой частоты свободных колебаний без учета сил сопротивления равен
следовательно
Амплитуда вынужденных колебаний определяется произведением
Здесь В нашем примере
Силы, приложенные к грузу А в произвольный момент времени, изображены на рис. 3.2
Составляем дифференциальное уравнение движения груза
где
Подставляя выражения возмущающей силы и силы упругости в уравнение (3.1), получаем следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза: которое приводится к канонической форме
Здесь Это дифференциальное уравнение необходимо решать при начальных условиях:
Общее решение уравнения (3.2) является суммой двух функций
где Однородное уравнение имеет решение
где и Частное решение неоднородного уравнения следующее
Таким образом, в нашем примере
Постоянные интегрирования находим из начальных условий (3.3). Подставляя функцию (3.4) в первое начальное условие, имеем:
откуда
Далее определяем производную по времени от функции (3.4)
Тогда из второго начального условия (3.3), следует
Получаем
Уравнение колебательного движения груза А окончательно примет вид
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки следующая
Результаты вычислений по формуле (3.5) для различных значений z приведены в табл. 3.2. Таблица 3.2
По данным табл. 3.2 строим кривую 1 на рис. 3.3, которая называется амплитудно–частотной характеристикой системы при отсутствии сопротивления. При наличии силы сопротивления окружающей среды, пропорциональной скорости груза, дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид
где n – коэффициент затухания (с-1). Величина амплитуды вынужденных колебаний находится по формуле
где В нашем случае Результаты вычислений по формуле (3.6) для различных значений z приведены в табл. 3. Таблица 3.3
По данным табл. 3.3 строим кривую 2 на рис. 3.3, которая дает представление о влиянии сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза.
|