Пример выполнения задания. Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы

3.3.1. Условие примера

Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы , как показано на рис. 3.1.

Масса груза m=0,8 кг, амплитуда возмущающей силы
=28,8 Н, ее круговая частота с^-1, начальные условия движения груза на пружине м, м/с.

Определить коэффициент с упругости пружины для значения коэффициента динамичности при .

Найти уравнение движения груза при заданных начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.

Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При значении коэффициента затухания с^-1, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

3.3.2. Решение примера

Определим коэффициент с упругости пружины.

При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности вычисляется по формуле

,

откуда

с^-2.

С другой стороны, квадрат круговой частоты свободных колебаний без учета сил сопротивления равен

,

следовательно

Н/м.

Амплитуда вынужденных колебаний определяется произведением

.

Здесь - деформация пружины при статическом действии силы .

В нашем примере

м, м.

Силы, приложенные к грузу А в произвольный момент времени, изображены на рис. 3.2

Составляем дифференциальное уравнение движения груза

(3.1)

где - сила упругости пружины:

.

Подставляя выражения возмущающей силы и силы упругости в уравнение (3.1), получаем следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза:

которое приводится к канонической форме

(3.2)

Здесь м/с².

Это дифференциальное уравнение необходимо решать при начальных условиях:

м, (3.3)

м/с.

Общее решение уравнения (3.2) является суммой двух функций

,

где - общее решение однородного уравнения, а - частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение имеет решение

,

где и и - постоянные интегрирования.

Частное решение неоднородного уравнения следующее

.

Таким образом, в нашем примере

. (3.4)

Постоянные интегрирования находим из начальных условий (3.3).

Подставляя функцию (3.4) в первое начальное условие, имеем:

,

откуда

м.

Далее определяем производную по времени от функции (3.4)

.

Тогда из второго начального условия (3.3), следует

.

Получаем

м.

Уравнение колебательного движения груза А окончательно примет вид

, м.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки следующая

(3.5)

Результаты вычислений по формуле (3.5) для различных значений z приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

По данным табл. 3.2 строим кривую 1 на рис. 3.3, которая называется амплитудно–частотной характеристикой системы при отсутствии сопротивления.

При наличии силы сопротивления окружающей среды, пропорциональной скорости груза, дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид

,

где n – коэффициент затухания (с^-1).

Величина амплитуды вынужденных колебаний находится по формуле

(3.6)

где - относительный коэффициент затухания .

В нашем случае .

Результаты вычислений по формуле (3.6) для различных значений z приведены в табл. 3.

Таблица 3.3

По данным табл. 3.3 строим кривую 2 на рис. 3.3, которая дает представление о влиянии сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза.