Тема 4. Концепция и методический инструментарий оценки стоимости денег во времени

Инвестиционный менеджмент требует постоянного осуществления различного рода финансово-экономичес­ких расчетов, связанных с потоками денежных средств в разные периоды времени. Ключевую роль в этих расче­тах играет оценка стоимости денег во времени.

Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с уче­том нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве которой обычно выступает норма ссудного процента (или процента). Иными словами, в соответствии с этой концеп­цией одна и та же сумма денег в разные периоды времени имеет разную стоимость; эта стоимость в настоящее вре­мя всегда выше, чем в любом будущем периоде.

Концепция стоимости денег во времени играет осново­полагающую роль в практике инвестиционных вычисле­ний. Она предопределяет необходимость учета фактора времени в процессе осуществления любых долгосрочных инвестиционных операций путем оценки и сравнения сто­имости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли, амор­тизационных отчислений, основной суммы долга и т.д.

Содержание основных базовых понятий.

ПРОЦЕНТ — сумма дохода от предоставления капита­ла в долг или плата за пользование ссудным капи­талом во всех его формах (депозитный процент, кре­дитный процент, процент по облигациям, процент по векселям и т.п.).

ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты платежей не осу­ществляются. Начисление простого процента приме­няется, как правило, при краткосрочных инвести­ционных операциях.

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которая не выплачивается, а присоединяется к основной сумме капитала и в после­дующем платежном периоде сама приносит доход. Начисление сложного процента применяется, как правило, при долгосрочных инвестиционных опе­рациях.

ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА (ставка процента) — удельный показатель, в соответствии с которым в установ­ленные сроки выплачивается сумма процента в рас­чете на единицу капитала. Обычно процентная став­ка характеризует соотношение годовой суммы процента и суммы предоставленного (заимствован­ного) капитала (выраженное в десятичной дроби или в процентах)

БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ - сумма инвестиро­ванных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный пери­од времени с учетом определенной ставки процента (процентной ставки).

НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ - сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом опреде­ленной ставки процента (процентной ставки) к настоящему периоду времени.

НАРАЩЕНИЕ СТОИМОСТИ (компаундинг) — процесс приведения настоящей стоимости денег к их буду­щей стоимости в определенном периоде путем присое­динения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов.

ДИСКОНТИРОВАНИЕ СТОИМОСТИ- процесс приве­дения будущей стоимости денег к их настоящей сто­имости путем изъятия из их будущей суммы соответ­ствующей суммы процентов (называемой "дисконтом").

ПЕРИОД НАЧИСЛЕНИЯ — общий период времени, в течение которого осуществляется процесс наращения или дисконтирования стоимости денежных средств.

ИНТЕРВАЛ НАЧИСЛЕНИЯ — обусловленный конкрет­ный временной срок (в пределах общего периода начисления), в рамках которого рассчитывается от­дельная сумма процента по установленной его ставке (осуществляется отдельный платеж процента).

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРО­ЦЕНТА (метод пренумерандо или антисипативный метод) — способ расчета платежей, при котором на­числение процента осуществляется в начале каждого интервала.

ПОСЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА (метод постнумерандо или декурсивный метод) — способ расчета платежей, при котором начисление про­цента осуществляется в конце каждого интервала.

ДИСКРЕТНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК- поток денеж­ных средств по инвестиционной деятельности, име­ющий четко ограниченный период начисления про­центов и конечный срок возврата основной суммы капитала.

НЕПРЕРЫВНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК - поток де­нежных средств по инвестиционной деятельности, период начисления процентов по которому не ог­раничен, а соответственно не определен и конеч­ный срок возврата основной суммы капитала.

АННУИТЕТ (ФИНАНСОВАЯ РЕНТА) - длительный инвестиционный поток платежей, характеризую­щийся одинаковым уровнем процентных ставок на протяжении всего периода.

Процентная ставка, используемая в процессе наращения или дис­контирования стоимости денежных средств (оценки их будущей и настоящей стоимости), классифицируется по следующим основным признакам.

1. По использованию в процессе форм оценки стоимости денег во времени различают ставку наращения и ставку дисконтирования.

Ставка наращения представляет собой процентную ставку, по которой осуществляется процесс наращения стоимости денежных средств (компаундинг), т.е. опре­деляется их будущая стоимость.

Ставка дисконтирования (дисконтная ставка) пред­ставляет собой процентную ставку, по которой осуще­ствляется процесс дисконтирования стоимости денеж­ных средств, т.е. определяется их настоящая стоимость.

2. По стабильности уровня используемой процентной ставки в рамках периода начисления выделяют фиксиро­ванную и плавающую процентные ставки.

Фиксированная ставка характеризуется неизменным ее уровнем на протяжении всех интервалов общего пе­риода начисления.

Плавающая (или переменная) процентная ставка ха­рактеризуется регулярно пересматриваемым ее уровнем по соглашению сторон в разрезе отдельных интервалов общего периода начислений. Такой пересмотр обусловли­вается изменением средней нормы процента на финан­совом рынке (или в отдельных его сегментах), измене­нием темпа инфляции и другими условиями.

3. По обеспечению начисления определенной годовой суммы процента различают периодическую и эффектив­ную процентные ставки.

Периодическая ставка процента при обеспечении определенной годовой суммы процента может варьиро­вать как по уровню, так и по продолжительности от­дельных интервалов на протяжении годового периода платежей.

Эффективная ставка процента (или ставка сравне­ния) характеризует среднегодовой ее уровень, определя­емый отношением годовой суммы процента, начислен­ного по периодическим его ставкам, к основной сумме капитала.

4. По условиям формирования различают базовую и договорную процентные ставки.

Базовая процентная ставка характеризуется опреде­ленным исходным ее уровнем в качестве первоначальной основы последующей ее конкретизации кредитором (за­емщиком) в зависимости от условий осуществления соответствующей инвестиционной операции.

Договорная процентная ставка характеризует конкре­тизированный ее уровень, согласованный кредитором и заемщиком и отраженный в соответствующем инвес­тиционном договоре.

Методический инструментарий оценки стоимости денег во времени дифференцируется в раз­резе следующих видов вычислений.

1. Методический инструментарий оценки стоимости денег по простым процентам:

1.1. При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости (компаундинга) используется сле­дующая формула:

где 1 — сумма процента за обусловленный период вре­мени в целом, ден. ед;

Р — первоначальная сумма (стоимость) денежных средств, ден. ед;

n — количество интервалов, по которым осуществля­ется расчет процентных платежей, в общем обус­ловленном периоде времени;

i — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае будущая стоимость вклада (S) с уче­том начисленной суммы процента определяется по фор­муле:

Множитель (1 + ni) называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно быть больше единицы.

1.2. При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования стоимости (т.е. суммы дисконта) используется формула:

(3)

где D — сумма дисконта (рассчитанная по простым процентам) за обусловленный период времени в целом, ден. ед;

S— будущая стоимость денежных средств, ден. ед.;

п —количество интервалов, по которым осуществля­ется расчет процентных платежей, в общем обу­словленном периоде времени;

i — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае настоящая стоимость денежных средств (Р) с учетом рассчитанной суммы дисконта определя­ется по следующей формуле:

(4)

Используемый в обеих случаях множитель (1/(1+ni) называется дисконтным множителем (коэффициентом) суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

2. Методический инструментарий оценки стоимо­сти денег по сложным процентам.

2.1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по слож­ным процентам используется следующая формула:

где Sc — будущая стоимость вклада (денежных средств) при его наращении по сложным процентам, ден. ед.;

Р—первоначальная сумма вклада, ден. ед.;

i—используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

п—количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма процента (Iс) в этом случае определяется по формуле: Iс = Sc – Р.

2.2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным процен­там используется следующая формула:

(6)

где Рc — первоначальная сумма вклада, ден. ед.;

S— будущая стоимость вклада при его наращении, обусловленная условиями инвестирования, ден. ед.;

i — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

n —количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма дисконта (Dc) в этом случае определяется по формуле: Dc=S-Pc.

2.3. При определении средней процентной ставки, ис­пользуемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула:

(7)

где i — средняя процентная ставка, используемая в рас­четах стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

Sс — будущая стоимость денежных средств, ден. ед.;

Pc — настоящая стоимость денежных средств, ден. ед.;

n — количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

2.4. Определение эффективной процентной ставки в процессе наращения стоимости денежных средств по слож­ным процентам осуществляется по формуле:

(8)

где i_э — эффективная среднегодовая процентная став­ка при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятич­ной дробью;

i — периодическая процентная ставка, использу­емая при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

n — количество интервалов, по которым осущест­вляется каждый процентный платеж по периоди­ческой процентной ставке на протяжении года.

При оценке стоимости денег во времени по слож­ным процентам необходимо иметь в виду, что на ре­зультат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более выгодным инвести­ровать деньги под меньшую ставку процента, но с боль­шим числом интервалов в течение предусмотренного периода платежа.

3. Методический инструментарий оценки стоимости денег при аннуитете связан с использованием наиболее сложных алгоритмов и определением метода начисле­ния процента — предварительным (пренумерандо) или последующим (постнумерандо).

3.1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) ис­пользуется следующая формула:

(9)

где SA_pre — будущая стоимость аннуитета, осуществля­емого на условиях предварительных плате­жей (пренумерандо), ден. ед.;

R — член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа, ден. ед.;

i—используемая процентная ставка, выражен­ная десятичной дробью;

n—количество интервалов, по которым осуще­ствляется каждый платеж, в общем обуслов­ленном периоде времени.

3.2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуще­ствляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:

(10)

где SA_post — будущая стоимость аннуитета, осуществля­емого на условиях последующих платежей (постнумерандо), ден. ед.;

R—член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа, ден. ед.;

i— используемая процентная ставка, выражен­ная десятичной дробью;

n — количество интервалов, по которым осуще­ствляется каждый платеж, в общем обус­ловленном периоде времени.

3.3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:

(11)

где РА_рге— настоящая стоимость аннуитета, осущест­вляемого на условиях предварительных пла­тежей (пренумерандо), ден. ед.;

R—член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа, ден. ед.;

i—используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;

n—количество интервалов, по которым осуще­ствляется каждый платеж, в общем обуслов­ленном периоде времени.

3.4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:

(12)

где PA_post — настоящая стоимость аннуитета, осущест­вляемого на условиях последующих плате­жей (постнумерандо), ден. ед.;

R — член аннуитета, характеризующий размер от­дельного платежа, ден.ед.;

i — используемая процентная (дисконтная) став­ка, выраженная десятичной дробью;

n—количество интервалов, по которым осуще­ствляется каждый платеж, в общем обуслов­ленном периоде времени.

3.5. При расчете размера отдельного платежа при за­данной будущей стоимости аннуитета используется сле­дующая формула:

(13)

где R— размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной будущей его стоимости);

SA_post — будущая стоимость аннуитета (осуществля­емого на условиях последующих платежей);

i — используемая процентная ставка, выражен­ная десятичной дробью;

n — количество интервалов, по которым намеча­ется осуществлять каждый платеж, в обу­словленном периоде времени.

3.6 При расчете размера отдельного платежа при за­данной текущей стоимости аннуитета используется та­кая формула:

(14)

где R — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при известной текущей его стои­мости);

PА_post - настоящая стоимость аннуитета (осуществля­емого на условиях последующих платежей);

i— используемая процентная ставка, выражен­ная десятичной дробью;

n — количество интервалов, по которым намеча­ется осуществлять каждый платеж, в обуслов­ленном периоде времени.

В процессе расчета аннуитета возможно использо­вание упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффици­ент) его наращения или дисконтирования.

Контрольные вопросы

1. Концепция стоимости денег во времени.

2. Факторы, обусловливающие несопоставимость денежных средств в различных периодах времени.

3. Простой и сложный процент.

4. Операции дисконтирования и наращения капитала.

5. Формулы расчета текущей и будущей стоимости денежных средств.

6. Эффективная годовая процентная ставка.

7. Понятия обыкновенного и обязательного аннуитета.

8. Формулы расчета текущей и будущей стоимости аннуитета.

Аналитические задания

1. Коммерческая организация приняла решение инвестировать на пятилетний срок свободные денежные средства в размере 30 тыс. р. Имеются три альтернативных варианта вложений. По первому варианту средства вносятся на депозитный счет банка с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 20%. По второму варианту средства передаются юридическому лицу в качестве ссуды, при этом на полученную сумму ежегодно начисляется 25%. По третьему варианту средства помещаются на депозитный счет с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке 16% годовых. Требуется, не учитывая уровень риска, определить наилучший вариант вложения денежных средств.

2. Имеются три варианта (А,В,С) начисления процентов по средствам, размещенным на депозитном счете банка. По варианту А начисление процентов осуществляется раз в год по ставке 30%; по варианту В – ежемесячно по ставке 24% годовых; по варианту С – раз в квартал по ставке 28% годовых. Требуется определить эффективную годовую процентную ставку по каждому варианту начисления процентов.

3. Для расширения складских помещений коммерческая организация планирует через два года приобрести здание. Эксперты оценивают будущую стоимость недвижимости в размере 1 млн. р. По банковским депозитным счетам установлены ставки в размере 32% с ежегодным начислением процентов и 28% с ежеквартальным начислением процентов. Требуется определить, какую сумму средств необходимо поместить на банковский депозитный счет, чтобы через два года получить достаточную сумму средств для покупки недвижимости.

4. Компания планирует через пять лет осуществить замену ведущего оборудования. Предполагаемые инвестиционные затраты составят 2110 тыс. р. Чтобы накопить необходимую сумму средств, предприятие из прибыли, остающейся в его распоряжении, ежегодно перечисляет средства на депозитный счет банка. Требуется определить величину ежегодных отчислений на проведение капиталовложений, если ставка по банковским депозитам составляет 24% (начисление раз в квартал), 28% (начисление раз в год).

5. Компания продает полис страхования жизни (срок страхования – 20 лет), по которому необходимо в начале каждого года выплачивать 3 тыс. р. По условию сделки в конце установленного срока страхователь не получает обратно какой-либо суммы средств (полис А). По альтернативному варианту (полис В) компания страхует на весь срок жизни с уплатой в начале каждого года 8,3 тыс. р . на протяжении 20 лет. Если по завершении 20 лет страхователь обращается в компанию, он получает 220 тыс. р. требуется оценить наиболее выгодный вариант страхования, если ставка инфляции составляет 8% годовых.

6. Фирма приобретает новый компьютер и программное обеспечение за 25,3 тыс. р., которые будут использоваться только в целях автоматизации бухгалтерского учета. При этом планируется в течение ближайших пяти лет получить экономию затрат по ведению бухгалтерского учета (за счет сокращения сотрудников этой службы и снижения фонда заработной платы) в размере 10 тыс. р. за год. Требуется определить, насколько целесообразна данная инвестиция, если средние ставки по банковским депозитам составляют 35% годовых.

7. Перед заключением двухлетнего договора аренды фирма рассматривает два варианта выплаты арендных платежей. По варианту А фирма ежемесячно выплачивает 32 тыс. р., по варианту В платежи производятся раз в год в размере 384 тыс. р. Требуется определить наиболее выгодные для предприятия арендатора условия аренды, если ставка инфляции составляет 12% годовых.