Реальний хвилевід

Розгляд процесів, які протікають у хвилевідній системі проводився нами, виходячи з припущень, що довжина хвилеводу нескінченна, матеріал хвилевідного шару абсолютно прозорий, а границі між середовищами – ідеальні.

Зараз будемо вважати, що:

1. Коефіцієнт поглинання хвилеводу хоч і малий, але не дорівнює 0;

2. Довжина його кінцева;

3. Границі хвилеводу (для простоти хоча б одна) промодульовані слабкою синусоїдальною решіткою з певним періодом.

Зауважимо, що розгляд хвилевідних процесів при виконанні 3-ої умови дає потім можливість перейти до спотвореної границі загального типу, оскільки довільну модуляцію границі можна розглядати як суперпозицію синусоїдальних граток із певним розподілом глибини та періодів.

Звернемося до рисунка 2.3.1. Для того, щоб у хвилевідній системі встановилося поле, яке не залежить від , направимо з боку покривного шару на решітку плоску хвилю з амплітудою . Тоді в системі встановиться певний енергетичний баланс.

Оскільки середовище хвилеводу має певне поглинання, то коефіцієнт заломлення (в тому числі й ефективний коефіцієнт заломлення) стає комплексною величиною:

, (2.3.1)

де – дійсна частина показника заломлення (безпосередньо “показник заломлення”), – коефіцієнт поглинання.

Можна показати, що у випадку, коли не дуже велике, хвилевідні властивості структури та її параметри (спектр мод, ефективна товщина та ін.) визначаються саме величиною .

Нагадаємо, що у відповідності до закону Бугера влив поглинання на амплітуду хвилі описується співвідношенням:

, (2.3.2)

де – довжина шляху, що пройшла хвиля в середовищі.

Згідно з формулою решітки кут дифракції визначається формулою:

, (2.3.3)

де – номер дифракційного порядку.

Введемо деяку величину – амплітудну дифракційну ефективність, що показує, яка доля амплітуди хвилі, що провзаємодіяла з решіткою, спрямовується в напрямку певного дифракційного порядку. Отже, амплітуда хвилі після взаємодії з решіткою в напрямку -го дифракційного порядку описується виразом:

, (2.3.4)

де – амплітуда хвилі до взаємодії з решіткою, засвідчує відбита або пропущена хвиля утворилася після дифракції початкової хвилі на решітці. – амплітудна дифракційна ефективність решітки на пропускання та на відбивання відповідно.

Отже, будемо вважати, що в точці 1 (точці введення випромінювання у хвилевід) до взаємодії з решіткою амплітуда хвилі у хвилеводі має величину . Після введення у хвилевід комплексна амплітуда описується формулою:

, (2.3.5)

При цьому, не втрачаючи загольності вважаємо, що фаза хвилі у точці один дорівнює 0, оскільки визначальною є не абсолютна фаза коливання, а різниця фаз між коливаннями в різних точках. У точці 2 перед взаємодією хвилі з решіткою (після відбивання її від нижньої границі) комплексна амплітуда має вигляд:

, (2.3.6)

де – ослаблення амплітуди хвилі за рахунок розповсюдження між точками 1,2, , – набіг фази за рахунок дифракції взаємодії з нижньою границею. З виразу випливає, що . Тоді

. (2.3.7)

У точці 2 після взаємодії комплексна амплітуда визначається низкою факторів:

1. Підсиленням хвилі за рахунок додаткової енергії ззовні (з боку покривного шару).

2. Виведенням випромінювання за рахунок дифракції хвилі в покривний шар .

3. Дифракційною ефективністю решітки на відбивання в 0-й порядок .

4. Різницею фаз між хвилею підживлення та хвилі, що розповсюджується у хвилеводі.

Зауважимо, що ця різниця дорівнює 0, якщо напрямок дифракційного порядку збігається з напрямком хвилевідної моди (з умови самоузгодження фази хвилевідної моди в точках 1 і 2 однакові).

В решті решт комплексна амплітуда в точці 2 дорівнює:

. (2.3.8)

Відповідно в точці 3 маємо:

. (2.3.9)

У точці :

. (2.3.10)

(2.3.10) це геометрична прогресія з показником за модулем менше одиниці ( ).

При її сума може бути обчислена за формулою . Кінцевий вираз набуває вигляду:

. (2.3.11)

Як було зауважено вище, для , яке збігається з напрямком на хвилевідні моди. Відповідно, найбільш несприятливі умови розповсюдження для хвилі, для якої (складання хвиль у протифазі). Будемо називати такі напрямки напрямками на антимоди.

Порівняємо амплітуди хвиль, які розповсюджуються в напрямках на моди і антимоди. Врахуємо той факт, що . Тоді відношення таких амплітуд буде описуватися виразом:

. (2.3.12)

При відсутності решітки та абсолютному пропусканні середовища хвилеводу . Відповідно . Отже, дійсно в нескінченно довгому абсолютно прозорому хвилеводі з ідеальними границями розповсюджуються лише хвилевідні моди. Водночас для , . У неідеальному хвилеводі можуть існувати всі типи коливань, навіть коливання, які відповідають розповсюдженню хвилі в найбільш несприятливих напрямках. Можна показати, що це твердження справедливе також для хвилеводів кінцевої довжини. На рисунку 2.3.2 наведений якісний розподіл амплітуди для двох перших мод хвилеводу для різних величин параметра .

Зауважимо, що розподіл амплітуди наведений на рисунку 2.3.2 дуже подібний до відповідного розподілу в інтерферометрі Фабрі-Перо в залежності від коефіцієнтів відбивання плоскопаралельних пластин. Звідси випливає, що плоский хвилевід можна розглядати як тонкий резонатор із нескінченними стінками. Або навпаки до аналізу процесів, які відбуваються в інтерферометрі Фабрі-Перо, можна застосовувати модовий підхід інтегральної оптики.

Зауважимо, що у випадку кінцевої довжини хвилеводу (навіть при відсутності поглинання та спотворення границь) спектр розповсюдження хвилевідних мод стає подібним до спектру зображеному на рис. 2.3.2. Виникнення цього „розширення” хвилевідних мод стає зрозумілим, якщо врахувати той факт, що умова самоузгодження (2.2.6) на практиці виконується з певною точністю, наприклад, згідно з критерієм Релея, з точністю до . Природно, що при невеликій довжині хвилеводу кількість зигзагів, яку здійснює хвилевідна мода також мала. Як наслідок дисперсійне рівняння з точність до виконується для досить широкого інтервалу кутів . Враховуючи, що різниця фаз між хвилями, які точно розповсюджуються в напрямках на хвилевідні моди та близькими до них кутами буде наростати при збільшенні кількості зигзагів (збільшенні довжини хвилеводу) можна стверджувати, що інтервал кутів для якого буде спостерігатися значна інтенсивність хвиль буде зменшуватися і при нескінченно довгому хвилеводі інтенсивність хвиль як функція кута перетворюється на систему -функцій ( ), характерну для ідеального хвилеводу.

Зробимо ще одну ремарку. Як стверджувалося вище 0-ва (головна) мода є самою потужною з мод, які розповсюджуються у хвилеводі. У реальній інтегрально-оптичній структурі це не завжди так. Дуже часто складається на практиці, що коефіцієнт пропускання хвилевідного шару значно нижче, ніж відповідні коефіцієнті покривного шару і підкладенки (наприклад, повітря та оптичне скло). Нагадаємо, що моди хвилеводу з більш високим номером глибше занурюються в середовища, які межують з хвилеводом. Отже, частка енергії, яка переноситься цими модами всередині хвилеводу, нижча, ніж у головній моди. Природно, що у хвилеводі з втратами така мода буде поглинатися скоріше, ніж моди з більш високим номером, і найпотужнішими будуть моди, параметри яких найбільш збігаються з умовою відсічки.