Дисперсійне рівняння хвилеводу

Знову розглянемо тришарову структуру (рис. 2.2.1), для якої знову виконується умова .

Уявімо, що у хвилеводі розповсюджується деяка плоска хвиля під кутом до нормалі до поверхні хвилеводу. Природно, що виконується інваріант Снелліуса:

, (2.2.1)

звідки для кута маємо:

. (2.2.2)

Швидкість розповсюдження будь-якої хвилі в середовищі хвилеводу однакова для будь-якого . Але, якщо розглядати розповсюдження хвилі вздовж осі , то її швидкість (константа розповсюдження) залежить від цього кута (для різних маємо різні оптичні шляхи). Константа розповсюдження хвилі може бути описана співвідношенням:

. (2.2.3)

Величина

(2.2.4)

має назву ефективного показника заломлення.

Для кутів і , як відомо, спостерігається повне внутрішнє відбивання. Отже, світлова хвиля, яка розповсюджується під кутом (оскільки ) не залишає середовища хвилеводу. Зауважимо, що при відбиванні хвилі від границі розділу, хвиля набуває додаткового зсуву по фазі (так звана поправка Гауса-Хенхена):

Для ТЕ-моди:

. (2.2.5)

Для ТМ-моди:

. (2.2.6)

де .

Наявність таких фазових зсувів з точки зору геометричної оптики можна пояснити лише в один спосіб. Хвиля на границі розділу відбивається не зразу, а занурюється на певну відстань у середовище, яке межує з хвилеводом (див. рис. 2.2.2).

Фазові зсуви в цьому випадку визначається подвійним оптичним шляхом .

З умов повного внутрішнього відбивання не випливає ніяких фізичних обмежень на кути, під якими розповсюджується хвиля у хвилеводі. Але:

1. Хвиля, яка розповсюджується в хвилеводі, абсолютно когерентна, тобто довжина та час когерентності необмежені.

2. Фронт хвилі також необмежений у просторі.

У такому випадку коливання в будь-якій точці хвилеводу є суперпозицією необмеженої кількості багатократно відбитих від границь хвилеводу хвиль, які взаємодіють між собою. Ці хвилі можуть підсилювати одна одну або гасити, якщо розповсюджуються у фазі або в протифазі. Коли кути такі, що коливання підсилюються, то кажуть, що виконується умова самоузгодження.

Умова самоузгодження виконується, якщо виконується співвідношення (див. рис. 2.2.4):

або . (2.2.6)

З рисунка випливає, що:

та (2.2.7)

Якщо врахувати фазові зсуви, які виникають при повному внутрішньому відбиванні, то в кінцевому вигляді умова самоузгодження має таку форму:

. (2.2.8)

Вираз (2.2.8) називають дисперсійним рівнянням. Це трансцендентне рівняння розв’язки якого дають набір кутів . Цей набір кутів визначає кути плоских хвиль, які можуть розповсюджуватися у хвилеводі, а також відповідні їм ефективні показники заломлення та константи розповсюдження, тобто визначає характеристики хвилевідних мод.