Теорія оптичного хвилеводу

2.1. Плоский хвилевід. Загальний підхід до фізики розповсюдження хвилі у хвилеводі

Будемо розглядати саме плоский хвилевід, оскільки саме для цього випадку досить легко отримати достатньо строгі розв’язки відповідних хвильових рівнянь. Для випадку циліндричного хвилеводу (оптичне волокно) це зробити не так легко. Але основні фізичні закономірності розповсюдження оптичної хвилі в оптичному волокні практично ті самі, що й у плоскому хвилеводі.

Розглянемо тришарову структуру (рис. 2.1.1). Виконується умова . Шари , , умовно будемо називати покривним шаром, хвилеводом та підкладенкою відповідно.

Всі шари нескінченні в площині . Величина – товщина хвилеводу. Шари та нескінченної товщини. Отже, якщо в системі можливі які-небудь відбивання світла, то вони відбуваються лише на границях середовищ та . Уявімо собі, що в напрямку поширюється плоска хвиля, поляризація якої збігається з віссю (ТЕ-хвиля). Вибір ТЕ-хвилі не є принциповим. Можна розглядати і ТМ-хвилю. Будь-яке інше коливання можна розглядати як суперпозицію ТЕ- і ТМ-коливань. Константа розповсюдження, яка визначає швидкість розповсюдження хвилі у хвилеводі, дорівнює . Тоді хвильове рівняння для такої хвилі має вигляд:

, (2.1.1)

де , відповідає коефіцієнту заломлення в кожному середовищі.

Відповідно розв’язок (2.1) має вигляд:

. (2.1.2)

Природно, що у відповідності до закону збереження енергії та інтуїтивної вимоги (незатухаюча хвиля може розповсюджуватися лише у хвилеводі) в загальному вигляді запишеться так:

(2.1.3)

де – деякі константи. (2.1.3) констатує той факт, що у хвилеводі існує деяке коливання, а в покривному шарі та підкладенки коливання затухають за експоненціальним законом. Швидкість затухання визначається постійними .

Похідні від у середовищах І, ІІ, ІІІ визначаються співвідношеннями:

. (2.1.4)

Внаслідок неперервності та її похідної на границях середовищ та з (2.1.3) і (2.1.4) випливає наступне:

При (границя середовища І і ІІ):

,

відповідно , . (2.1.5)

При (границя середовища ІІ і ІІІ):

.

Отже, враховуючи (2.1.5), (2.1.3) перепишеться у вигляді:

(2.1.6)

На відміну від (2.1.3), у (2.1.6) замість чотирьох констант (як виявилося, пов’язаних між собою) маємо лише одну константу для всіх типів хвиль , яку можна не враховувати при нормуванні амплітуд цих хвиль (наприклад до одиниці).

Отже, не з’ясованим є лише явний вигляд констант .

Нагадаємо, що оператор у нашому випадку (при умові, що ) має вигляд . Підставимо (2.1.6) спочатку в (2.1.2), а потім у (2.1.1). Константа у всіх рівняннях скоротиться. Скоротяться також всі експоненціальні члени, оскільки та вони знаходяться як з правого, так і з лівого боку, всіх рівнянь.

Отже, для області І маємо:

. (2.1.7)

Враховуючи, що (2.1.7) набуває вигляду:

. (2.1.8)

Для області ІІ маємо:

(2.1.9)

Звідки випливає:

. (2.1.10)

Для області ІІ маємо:

. (2.1.11)

Отже, з точністю до і поле визначено у всіх трьох областях через відомі параметри. При цьому постійна може бути ігнорована. Залишилося визначити лише явний вигляд постійної розповсюдження .

З умови неперервності похідних на границях середовищ структури при з (2.1.4 і 2.1.6) маємо співвідношення для перших похідних:

(2.1.12)

Якщо в (2.1.12) підставити з ((2.1.8,10,11), (2.1.12) буде рівнянням від однієї невідомої . З цього трансцендентного рівняння бачимо, що розповсюдження хвилі в системі можливо лише для певних дискретних , які задовольняють (2.1.12).

Хвилі, які відповідають цім , називають модами хвилеводу.

Для ТМ-коливання можна отримати аналогічне рівняння:

, (2.1.13)

де , .