Розповсюдження оптичної хвилі у вільному просторі

Нехай одинична за інтенсивністю плоска хвиля (Рис. 1.4.1), яка розповсюджується в середовищі з показником заломлення освітлює тонкий транспарант з пропусканням (в загальному випадку комплексним) . Відповідно до (1.2.5) поле безпосередньо за транспарантом дорівнює:

(1.4.1)

Тоді можна вважати що кожна точка поля за транспарантом є точковим джерелом з модулем амплітуди та фазою згідно (1.4.1).

Виберемо довільне точкове джерело, розташоване в точці . З такого точкового джерела розповсюджується сферична хвиля, яка в площині в одномірному випадку описується комплексною амплітудою:

(1.4.2)

де

. (1.4.3)

Для двомірного випадку множник в (1.4.2) трансформується в множник .

Поле в точці є результатом інтерференції всіх таких хвиль, які надійшли з плоскості :

. (1.4.4)

Будемо вважати, що поперечні розміри транспаранта та розміри області в площині де поле аналізується малі у порівнянні з відстанню між площинами та . Тоді може бути апроксимоване як:

. (1.4.5)

Додамо, що амплітудний множник може бути апроксимований ще більш грубо . Відповідно вираз (1.4.4) перепишеться у вигляді:

. (1.4.4)

Вираз (1.4.4) іноді називають перетворенням Френеля від функції . Цей вираз описує розповсюдження промодульованої транспарантом хвилі в області дифракції Френеля.

Зробимо ще одне наближення:

(1.4.5)

Тоді (1.4.4) набуває вигляду:

. (1.4.6)

де . Вираз (1.4.6) описує розповсюдження промодульованої транспарантом хвилі в області дифракції Фраунгофера і є перетворенням Фур’є в координатах .

1.4.2. Реалізація фур’є-перетворення в оптиці і в інтегральній оптиці зокрема

Нехай плоска хвиля (Рис. 1.4.2) освітлює транспарант . Відповідно поле зразу ж за транспарантом дорівнює його пропусканню. Впритул до транспаранта розташований об’єктив з фокусною відстанню . Після проходження лінзи поле описується комплексною амплітудою: