Ризик та нерівність Чебишева.

Дисперсія не повністю характеризує ступінь ризику, але дозволяє у деяких випадках чітко виявить граничні шанси менеджера (інвестора, підприємця).

Теоретична база цього закладена у відомому нерівності Чебишева: ймовірність того, що випадкові величина відхиляється за модулем від свого математичного сподівання більше, ніж на заданий допуск "б", не перевищує її дисперсії (варіації), розділеної на "δ² ".

Варіація V деякої випадкової величини R повинна бути менше, ніж δ² оскільки імовірність:

р ≤ 1 (р =V / δ² ≤ 1).

Відповідно випадковій величині R (ефективність, прибутковість) можна записати :

де m – математичне очікування випадкової величини R.

Припустимо, що інвестиції здійснюються за рахунок кредиту, взятого під відсоток r_s під заставу нерухомості. Яка ймовірність того, що інвестор не зможе повернути свій борг та позбудеться своєї нерухомості?

Це ймовірність того, що випадкова величина R прийме своє значення, яке відповідає умові

R < r_s

або - (R – m) > m – r_s.

Отже одержимо

Звідси маємо, що шанс збанкрутувати не перевищує величини:

V/(m – r_s)².

Звичайно при цьому мають на увазі, що обов'язково виконується умова раціональності такого вкладу «під кредит», тобто, що т > r_s, а оцінка має сенс лише тоді, коли варіація (дисперсія) не надто велика, тобто, коли виконується умова

V ≤ (m – r_s)².

Коли задані умови (гіпотези) виконуються, то для того, щоб шанс збанкрутувати був не більшим ніж 1/9, достатньо виконати умову (правило «3-х сігм»)

V ≤ 1/9 (m – r_s)² або m ≥ r_s + 3σ.

Зазначимо, що тут, як один з параметрів ризику у системі кількісних оцінок ризику, виступає ймовірність несприятливої події

р_н = σ² / δ²

поряд з таким параметром ризику як дисперсія (варіація). У даному випадку р_н ≤ 1/9. Звичайно, можна сперечатися, чи задовольняє ця величина менеджера (суб'єкт прийняття рішення), чи ні. У ряді випадків величину р_н необхідно брати досить малою, інколи навіть, у випадку забезпечення «допустимого» ризику р_н=0,001.

Розглянемо ще одну ситуацію, коли інвестор вкладає в звичайні акції лише частину власного капіталу, залишаючи певну частку на збереження під майже безризиковий відсоток r₀ (державні короткотермінові цінні папери). Яка буде при цьому величина ймовірності банкрутства?

Якщо А — обсяг наявного капіталу, а х₀А — частка, що залишається на збереження (вкладається в безризикові цінні папери), то банкрутство стає можливим лише тоді, коли

Х₀А (1 + r₀) + (1 – х₀) А (1 – R) < 0

або R < - (1 + x₀r₀) /(1 – x₀).

Тобто, в цьому випадку замість величини r_s,яка фігурувала в попередньому випадку, маємо величину - (1 + x₀r₀)/(1 -х₀).

Оцінка за Чебишевим дає ризик банкрутства, що буде меншим ніж 1/9 тоді, коли

або

Бачимо, що гра на біржі на власний капітал значне безпечніша. Навіть якщо вкласти його лише у ризиковані цінні папери, тобто, коли х₀=0, то достатнім є виконати умову

m > -1 + 3σ,

звичайно, якщо інвестора задовольняє рівень надійності (ризик банкрутства р_н< 1/9).