Статистическое изучение вариации

При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также сущность и значение измерения вариации признаков.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

По степени вариации можно судить о многих сторонах процесса развития изучаемых явлений, в частности, об однородности совокупности, устойчивости индивидуальных значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между признаками одного и того же явления и признаками разных явлений.

Очень важно научиться правильно исчислять все показатели вариации:

Т а б л и ц а 7.1 – Показатели вариации

Показатели	Формула для расчета
Абсолютные Размах вариации, R
Среднее линейное отклонение, d	- невзвешенное - взвешенное
Дисперсия,	- невзвешенная - взвешенная
Среднее квадратическое отклонение,
Относительные Коэффициент осцилляции
Линейный коэффициент вариации,
Коэффициент вариации,
Примечание. Хmax – наибольшее значение варьирующего признака; Xmin – наименьшее значение признака. Наиболее часто в практических расчетах применяются показатели вариации – дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Пример 7.1 - Расчет показателей вариации.

Распределение студентов факультета по возрасту характеризуется следующими данными (таблица 7.2):

Т а б л и ц а 7.2 – Распределение студентов факультета по возрасту

Возраст студентов, лет Хi	Число студентов, Fi	Xi×Fi
Итого

Определим средний возраст студентов факультета:

год.

Размах вариации:

R=24-17=7 лет.

Среднее линейное отклонение:

года.

Дисперсия:

.

Среднее квадратическое отклонение:

года.

Коэффициент осцилляции:

.

Линейный коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации:

.

Следует обратить внимание на другие способы расчета дисперсии. Дисперсия может быть рассчитана по формуле:

. (7.1)

Форма расчета дисперсии по способу моментов имеет следующий вид:

(7.2)

где m₂ – момент второго порядка, определяемый по формуле:

(7.3)

где А – середина интервала с наибольшей частотой.

Расчет дисперсии по способу отсчета от условного нуля производится по формуле:

(7.4)

Пример 7.2– Расчет дисперсии разными способами.

Распределение магазинов по величине товарооборота в отчетном квартале характеризуется следующими исходными данными (таблица 7.3):

Т а б л и ц а 7.3 – Распределение магазинов по величине товарооборота

Исходные данные	Вспомогательные расчеты
группы магазинов по величине товарооборота, тыс.р.	число магазинов, Fi	середина интервала Xi	Xi-A (А=105)	(i=10)
70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140			-30 -20 -10	-3 -2 -1	-36 -20 -15
		-	-	-	-31		-

Определяем дисперсию:

- по способу разности между средней квадратов вариантов и квадратом средней величины:

;

- по способу моментов:

- по способу отсчета от условного нуля:

Результаты расчетов дисперсии по всем трем способам дают одну и ту же величину.

Чем меньше величина дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем меньше вариации признака. Если коэффициент вариации не превышает 33%, совокупность считается однородной, а средняя величина – надежной обобщающей характеристикой этой совокупности.

Статистическое изучение вариации многих социально-экономических явлений проводится и при помощи дисперсии альтернативного признака. Обозначим наличие данного признака 1, отсутствие – 0, долю вариантов, обладающих данным признаком – р, а не обладающих – q. Так как р+q=1, то средняя , а дисперсия альтернативного признака , где где m – число единиц совокупности, обладающих данным признаком; n – число наблюдений.

Так как q=1-р, то

(7.5)

Пример 7.3 – Расчет дисперсии альтернативного признака.

Доля продукции с сертификатом качества по пяти отделениям корпорации составила (таблица 7.4):

Т а б л и ц а 7.4 – Исходные данные

Дисперсию доли продукции с сертификатом качества рассчитаем по формуле:

(7.6)

Т а б л и ц а 7.5 – Распределение продукции

Отделение	Продукция с сертификатом качества, р.	1-р
	0,85 0,55 0,7 0,62 0,58	0,15 0,45 0,3 0,38 0,42	0,1275 0,2475 0,2100 0,2356 0,2436	0,3571 0,4975 0,4583 0,4854 0,4936

Необходимо иметь в виду, что если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить общую дисперсию, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию:

(7.7)

где - общая средняя по всей совокупности;

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака – фактора, положенного в основание группировки:

(7.8)

где - средняя по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака – фактора, положены в основание группировки:

(7.9)

Средняя из внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле:

(7.10)

Существует закон, связывающий три вида дисперсий:

(7.11)

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий.

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации ( ):

(7.12)

Этот коэффициент может быть выражен в процентах; он показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Корень квадратный из коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения ( ):

. (7.13)

Это показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками.

Пример 7.4 – Расчет эмпирического коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Проанализировать взаимосвязь между стажем работы и производительностью труда (часовой выработкой), используя следующее данные (таблица 7.6):