Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(1.9)

Составим из коэффициентов при неизвестных и свободных членов три определителя и (1.10)

Легко видеть, что второй и третий определители получаются из первого заменой столбца соответствующих индексу коэффициентов столбцом свободных членов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений заключается в использовании соотношений ; (1.11) Отметим, что использовать их можно при ∆ ≠ 0. Это тот случай, когда система определена и совместна (т.е. имеет единственное решение).

Если ∆ = 0, а хотя бы один из определителей ∆_x, ∆_y отличен от нуля ((∆_x)²+(∆_y)² ≠ 0), то система несовместна (т.е. не имеет решений), а если D = ∆_x = ∆_у = 0, то система неопределена и имеет бесконечное множество решений.

Аналогично правило Крамера формулируется и для системы из трех (или n) линейных уравнений с тремя (или n) неизвестными.

(1.12) Þ (1.13') (1.14')

А D_x, D_y, D_z получаются из D заменой столбца соответствующих коэффициентов столбцом свободных членов. Аналогично проводится и исследование системы (возможны те же три случая).

Контрольные вопросы:

1) Что представляют собой системы 2-х, 3-х, n линейных уравнений переменных с n неизвестными?

2) Каково условие определённости и неопределённости совместной системы?

3) Какой вид имеют формулы Крамера и в каком случае они применяются?

4) При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

Задание для самостоятельной работы студентов:

Решить с помощью определителей системы уравнений и указать верные ответы:

1) 2)

1) а) ; б) ; 2)а) ; б) .