РАЗДЕЛ 6 Теория вероятностей и математическая статистика

Основные понятия теории вероятности

Пусть проводится некоторый опыт, который может закончиться различным образом, и заранее точно предсказать его результат невозможно. В теории вероятностей такой опыт называется случайным экспериментом, множество его возможных элементарных исходов обозначается буквой Ω (большая греческая буква омега). Так, если бросается игральная кость, шесть граней которой обозначены цифрами: 1,2,3,4,5,6, то всего имеется шесть элементарных исходов и

Подмножества множества W называются в теории вероятностей событиями и обозначаются большими латинскими буквами. В нашем примере событиями являются, например, Событие происходит, если реализуется любой входящий в него элементарный исход. Каждое событие имеет некоторую вероятность своего наступления. Вероятность события А- это действительное число, заключённое между 0 и 1. Вероятность обозначается буквой Р. Таким образом, для любого события имеет место , причём . Вероятность события может рассматриваться как мера его достоверности: чем ближе вероятность к 1- тем достовернее событие.

Если А– событие, то его отрицание называется

противоположным или дополнительным к А событием. Если А и В– события то их сумма А+В– событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А или В, а их произведение АВ- событие, состоящее в одновременном осуществлении А и В.

В нашем случае

Последнее равенство справедливо для любого события А.

Для произведения событий имеем АС={3}, BC={6}, AB=Æ, где Æ- пустое множество или невозможное событие. Для него всегда полагается Р(Æ)=0.

Два события называются несовместными, если они не могут осуществиться одновременно, т.е. их произведение есть невозможное событие. В нашем примере А и В– несовместные события. События А и всегда несовместны.

Один из основных принципов теории вероятностей состоит в том, что, если А и В– несовместные события, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Возвращаясь к нашему примеру, замечаем, что 6 возможных элементарных исходов опыта с бросанием кости совершенно симметричны, поэтому каждому из них естественно приписать одинаковую вероятность: Р(1)=Р(2)=…=Р(6). Кроме того, эти элементарные исходы есть несовместные события, в сумме дающие всё множество W. Поэтому Р(1)+Р(2)+…+Р(6)=Р(W)=1. Это позволяет заключить, что вероятность каждого из элементарных исходов равна , а вероятность любого события есть число заключающихся в нём элементарных исходов, делённое на 6, т.е. на полное число элементарных исходов.

Это приводит нас к классическому определению вероятности, согласно которому вероятность события определяется как отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию, к полному числу элементарных исходов. Следует, однако, подчеркнуть, что это определение может быть использовано лишь в тех случаях, когда элементарные исходы симметричны, стало быть, равновероятны. Это ограничивает его использование азартными играми.

Практическая значимость теории вероятностей во многом основывается на основополагающем принципе, согласно которому при многократном повторении опыта в одинаковых условиях относительная частота события А, определяемая как отношение числа опытов, в которых событие А осуществилось, к полному числу опытов, будет приближаться к Р(А). Этот фундаментальный принцип, называемый законом больших чисел, может быть строго доказан в рамках аксиоматики теории вероятностей.

В нашем примере с костью Р(А)= . Это означает, что при большом числе бросаний относительное число бросаний, закончившихся выпадением 1 и 3, будет близко к . А если многократно подбрасывать монету, то герб выпадает примерно в половине случаев.

Важнейшим понятием теории вероятностей, пронизывающим все её разделы, является понятие независимости. Два события называются независимыми, если факт осуществления одного из них не изменяет вероятности другого. Вероятность их одновременного осуществления равна произведению их вероятностей. Для иллюстрации этого рассмотрим эксперимент с бросанием двух костей. Здесь имеется 6´6=36 возможных исходов, которые вследствие симметрии равновероятны. Поэтому вероятность каждого из них равна . Рассмотрим, например, элементарный исход (3,5), когда на первой кости выпадает 3, а на второй- 5. Его вероятность, как следует из предыдущей аргументации, равна . Однако более общим является следующий подход к определению вероятности. Событие (3,5) является произведением двух событий:

1) на первой кости выпадает тройка и

2) на второй кости выпадает пятёрка.

Эти события независимы и вероятность каждого из них равна . Поэтому вероятность их произведения равна .

Итак, для любых независимых событий А и В имеет место соотношение Р(АВ)=Р(А)×Р(В).

В общем случае Р(АВ)=Р(А)×Р( ), где Р( )– вероятность события В при условии, что произошло событие А, т.е. условная вероятность события В. Аналогично, Р(АВ)=Р(В)×Р( ).

Пусть, например, имеется конфетница, содержащая 6 конфет: 3 шоколадных и 3 карамели, и из неё наугад берут 2 конфеты. Какова вероятность, что обе они окажутся шоколадными?

Пусть событие А состоит в том, что первая конфета шоколадная, событие В– вторая конфета шоколадная. Заметим, что Р(А)=Р(В)= . Нас интересует вероятность события АВ. Имеем Р(АВ)=Р(А)×Р События А и В не являются независимыми. Однако, легко переформулировать задачу так, чтобы события стали независимыми. Пусть имеется вторая такая же конфетница, и одна конфета тянется из первой конфетницы, а другая- из второй. Тогда события А и В независимы и вероятность вынуть две шоколадные конфеты равна

Если В₁,…,В_к– попарно несовместные события, исчерпывающие в сумме всё множество элементарных событий, то говорят, что В₁,…,В_к образуют полную группу событий. Тогда для произвольного события А справедлива так называемая формула полной вероятности

Пусть имеется две внешне одинаковые конфетницы, но в одной 2 шоколадные и 6 карамелей, а в другой 3 шоколадные и 3 карамели. Какова вероятность, что вытянутая из наугад взятой конфетницы конфета окажется шоколадной?

Пусть В₁- событие, что взята 1-ая конфетница, В₂- 2-ая. Это и будет в данном случае полной группой событий. По формуле полной вероятности для вероятности интересующего нас события получаем

Допустим теперь, что мы вытянули конфету и она оказалась шоколадной. Из какой конфетницы она была вытянута? Т.е. требуется найти вероятности и В этом случае события В₁ и В₂ называют альтернативными гипотезами, и - априорными вероятностями (вероятностями до опыта), а искомые условные вероятности и - апостериорными вероятностями (вероятностями после опыта).

откуда получаем

аналогично

.

Полученные формулы называются формулами Байеса для вероятностей гипотез. В нашем случае они дают ; Апостериорные вероятности, как и априорные, в сумме дают единицу, но они уже не равны. По результату опыта более вероятно, что мы имеем дело со второй конфетницей.