Поняття множини. Способи завдання і структурні характеристики множин

Поняття «множина» та «елемент множини» є вихідними поняттями в математиці, їм не дається формалізованого означення. Множиною називають сукупність визначених помітних між собою об'єктів, об’єднаних за певною ознакою. Об’єкти, що утворюють множину, називають її елементами. Як приклади, можна назвати множини натуральних чисел, точок на площині та ін.

Належність елемента a множині А позначають символом Î: aÎА, а той факт, що елемент a не є елементом множиниА, позначають aÏА.

Якщо множина містить скінчену кількість елементів, її назівають скінченою, у протилежному випадку – нескінченою. Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньою і позначають символом ∅. Характеристичною ознакою множини є також те, що вона не містить однакових елементів.

Загальноприйнятими є позначення основних числових множин (систем): N – натуральних чисел; Z – цілих чисел; R – дійсних чисел; Q – раціональних чисел, С - комплексних чисел.

Можливі такі способи завдання множин:

- списком елементів у фігурних дужках. Наприклад, А={x, y, z}, B={2, 4, 6, 8, 10};

- процедурою визначення повного набору елементів. Наприклад, M={2ⁿ, nÎN} - множина чисел виду 2ⁿ, nÎN;

- описом характеристичних властивостей елементів. Множина елементів х, які мають властивість Р(х), зазвичай позначається {х|P(х)} або {х: P(х)}. Наприклад, множина натуральних чисел, що є степенями числа 2, може бути записана як А={x|x=2ⁿ, nÎN}.

Нескінченні множини поділяються на зліченні та незліченні. Елементи зліченної множини можна занумерувати числами натурального ряду в послідовності a₁, . . . , a_n. Наприклад, множини N і Z відповідно натуральних і цілих чисел, множини всіх парних, непарних, дробових, раціональних чисел є зліченними. Елементи незліченної множини не можна підрахувати за допомогою натурального ряду (множини дійсних, ірраціональних чисел; точок на прямій, точок площини).

Множину Р(А) всіх підмножин, що складаються з елементів скінченної множини А, враховуючі включення ÆÍА і АÌА, називають булеаном множини А. Наприклад, булеан множини А={a, b, c, d} має вигляд Р(А)={Æ, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, с, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}. Булеан будь-якої n-елементної множини містить 2ⁿ елементів (підмножин).

Потужність множини визначається як кількість її елементів. Наприклад, потужність множини А={a, b, c, d} дорівнює 4. Наведений вище булеан Р(А) містить 16 елементів (підмножин). Значить, потужність булеану дорівнює |Р(А)|=2⁴=16.

Множини А і B вважаються рівними, якщо будь-який елемент множини А є елементом множини B і навпаки. Рівність множин А і B позначають А=B, а їх нерівність - А≠B.

З наведеного означення рівності множин слідує, що множина повністю визначається її елементами і при завданні скінченної невпорядкової множини порядок, в якому перелічені його елементи, не має значення.

Для будь-яких множин А, B, D виконуються умови: А=А, B=B, D=D; якщо А=B, то B=А, (з використанням сиволів випливу А=B⇒B=А і А=B⇔B=А); якщо А=B і B=D, то А=D.

З рівності множин випливає рівність їх потужностей: якщо А=B, то |А|=|B| (А=B⇒|А|=|B|), однак твердження |А|=|B|⇒А=B у загальному випадку невірно.

Потужність булеана нескінченної множини N натуральних чисел називають потужністю континуума. Потужність континуума вважають константою (з позначенням À) та використовують для порівняння за потужністю нескінченних зліченних множин.

Множину М називають упорядкованою, коли в ній встановлено відношення порядку p, що має такі властивості:

- "a,bÎM або apb (a передує b), або bpa (b передує a);

- "a,bÎM якщо apb і bpc, то apc.

Вибір відношення порядку називають впорядкуванням множини. Для впорядкування скінченної множини досить кожному її елементу привласнити номер 1, ..., n,або просто записати її елементи в певному порядку. Простий приклад використання упорядкованих множин надає лінійна алгебра: елементи рядків і стовпчиків n´n - матриці у певній послідовності створюють n – мірні упорядковані множини (кортежі, вектори). Інші приклади упорядкованих множин:

А={x_p| xÎ{45, 1, 76, 4; p - зростання значення числа}={1, 4, 45, 76};

А={x_p| xÎ{мастер, робочий, начальник цеху; p - службова ієрархія}={робочий, мастер, начальник цеху};

А={x_p| xÎ{генерал, рядовий, майор, полковник; p - ієрархія війскових звань} = {рядовий, майор, полковник, генерал}.

декартовим (прямим) добутком множин А і В називається третя множина А´В={(а,b)|аÎА, bÎВ}, елементами якої є всі можливі упорядковані пари (а,b) елементів цих множин. В загальному випадку декартов добуток А´А´…´А n однакових сумножників носить назву «множина-степінь» і позначається Аⁿ. Елементами множини Аⁿ є впорядковані n-мірні кортежи виду (а₁,а₂,…,а_n), де а_i, i=1,…,n – елемент i-ої множини-сумножника, складені з використанням правила формування елементів добутку двох множин: (…((А´А)´А)´…´А). З цього правила, зокрема, випливає, що потужність множини-степіні |Аⁿ|=|А|ⁿ.

Елементи а₁,а₂,…,а_n n-мірного вектора (кортежа) називають його координатами (в n-мірному просторі). Прикладом використання добутку множин є множина R´R=R², де R – множина дійсних чисел. Множина {(x,y)|xÎR, yÎR} уявляє собою множину всіх точок площини (або векторів) в декартових координатах x, y.