Логічні операції

Побудова складних висловлень з простих здійснюється за допомогою логічних операцій. Розглянемо всі можливі логічні операції над висловленнями, що дозволить визначити закони алгебри логіки і дати формалізоване означення логічної функції.

1. Логічна операція “Константа нуль”. Результатом цієї операції над висловленням A є висловлення, яке має значення f(A)=0 незалежно від істинності або хибності висловлення A.

2. Логічна операція “Константа одиниця ”. Результатом цієї операції над висловленням A є висловлення, яке має значення f(A)=1 незалежно від істинності або хибності висловлення A.

3. Логічна операція “Не” (інверсія, заперечення). Результатом цієї операції над висловленням A є висловлення f(A)= або f(A)=ØA (“ ” і “Ø” – символи заперечення), яке істинне лише тоді, коли A хибне, і хибне, коли A істинне (читається “Не A”).

4. Логічна операція “Змінна A”. Результатом цієї операції над висловленням A є висловлення f(A)=A, яке істинне лише тоді, коли A істинне, і хибне, коли A хибне. (читається “Збереження A”, “Повторення A”, “Передавання A”).

Перераховані чотири логічні операції є такими, що здійснюються над одним висловленням (не обов’язково простим). Інших операцій такого роду в алгебрі логіки не існує.

Розглянемо повний перелік логічних операцій над двома висловленнями.

1. Логічна операція “І” (кон’юнкція, добуток, логічне множення). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)=AÙB (в інших позначеннях A×B, AB, A&B), яке істинне лише тоді, коли A і B одночасно істинні, і хибне, коли хоча б одно з них хибне (читається “A і B”).

2. Логічна операція “Або” (диз’юнкція, сума, логічне додавання, невиключне або). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)=AÚB (в іншому позначенні A+B), яке є хибним лише тоді, коли A і B одночасно хибні, і істинне, коли хоча б одно з них істинне (читається “A або B”).

3. Логічна операція “Якщо - То” (імплікація). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)=A®B, яке є хибним лише тоді, коли A істинне, а B хибне, і істинне в інших випадках (читається “Якщо A, то B”).

4. Логічна операція “Заборона B” (заперечення імплікації A®B). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)= (в іншому позначенні ADB), яке є істинним лише тоді, коли A істинне, а B хибне, і хибне в інших випадках (читається “Не вірно, що якщо A, то B”).

5. Логічна операція “Заборона A” (заперечення імплікації B®A). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)= =BDA, яке є істинним лише тоді, коли B істинне, а A хибне, і хибне у всіх інших випадках (читається “Невірно, що якщо B, то A”).

6. Логічна операція “Рівнозначність” (еквівалентність). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)=A~B (в іншому позначенні A=B), яке є істинним лише тоді, коли A і B одночасно істинні або хибні, і хибне в інших випадках (читається “A рівнозначне B”).

7. Логічна операція “нерівнозначність” (сума за модулем два, виключне або). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)=AÅB (в іншому позначенні A¹B), яке є істинним лише тоді, коли одно з висловлень A і B істинне, а друге – хибне, і хибне в інших випадках (читається “A нерівнозначно B”, “Або A, або B”).

8. Логічна операція “стрілка пірса” (операція Пірса, функція Вебба). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)=A¯B= , яке є істинним лише тоді, коли A і B одночасно хибні, і хибне в інших випадках (читається “Не A і не B”).

9. Логічна операція “штрих шеффера” (операція Шеффера, функція Шеффера). Результатом цієї операції над висловленнями A і B є складне висловлення f(A,B)=A|B= , яке є хибним лише тоді, коли A і B одночасно істинні, і істинне, коли хоча б одно з них хибне (читається “Невірно, що A і B”).

Логічні операції в комп’ютерах виконуються над двійковими числами, порозрядно. Наведемо приклад виконання логічних операцій над двома двійковими числами: