КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Операції над множинами
У багатьох розділах математики і, зокрема, в теорії ймовірностей розглядаються лише множини, що є підмножинами однієї і тієї ж множини, яку називають універсальною множиною (універсумом). Для універсуму будемо використовувати позначення U. Над множинами, які є елементами деякого універсуму U, можна здійснювати певні операції. Розглянемо основні операції алгебри множин.
Нехай А і В - дві множини.
Означення 1.1. Об’єднанням АÈВ множин А і В називається множина всіх елементів, які належать принаймні одній з множин А або В («або» невиключне): АÈВ={x| xÎA або хÎВ}.
Означення 1.2. Перетином АÇВ множин А і В називається множина всіх елементів, які належать як А, так і В: АÇВ={x| xÎA і хÎВ}.
Означення 1.3. Різницею А\В множин А і В називається множина всіх елементів, які належать А і не належать В: А\В={x| xÎA і хÏВ}. Множину А\В називають також доповненням В до А.
Означення 1.4. Нехай АÍU, де U - універсум. Доповненням А до універсуму називається множина U\А={x| xÎU і хÏА}= 
. Верхнє підкреслення означає заперечення.
Означення 1.5. Симетричною різницею А-В множин А і В називається множина всіх елементів, які належать А або В і не належать множині АÇВ: А-В={x| (xÎA або xÎВ), але хÏАÇВ}.
Схематичне зображення універсальної множини та її підмножин можна робити за допомогою діаграм Венна (Ейлера-Венна). Часто універсальну множину зображають прямокутником, а підмножини – кругами (еліпсами). Застосування діаграм Венна для деяких операції над множинами ілюструє рис.1.1, де заштрихованими ділянками прямокутника U відображені результати виконання операцій.
За допомогою діаграм Венна можна переконатись, що операції над множинами володіють наступними властивостями:
1) АÈВ=ВÈА;
2) АÇВ=ВÇА;
3) АÈ(ВÈС)=(АÈВ)ÈС=АÈВÈС;
4) АÇ(ВÇС)=(АÇВ)ÇС=АÇВÇС;
5) АÇ(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС);
6) АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС);
7) 
= 
Ç 
;
8) 
= È ;
9)АÈ(АÇВ)=А;
10)АÇ(АÈВ)=А;
11) АÈÆ=А;
12) АÇÆ=Æ;
13) АÇU=А;
14) АÈU=U;
15) АÈ =U;
16) АÇ =Æ;
17) АÈА=А;
18) АÇА=А;
19) 
=А;
20) A\B=АÇ ;
21) А-В=(АÈВ)\(АÇВ);
22) (А-В)-С=А-(В-С);
23) А-В=В-А;
24) АÇ(В○С)=(АÇВ)-(АÇС);
25) А-U= ;
26) А-Æ=А.
Деякі з перелічених властивостей операцій над множинами носять назви законів алгебри множин, а саме: 1), 2) і 23)– закони комутативності; 3) і 4) – закони асоціативності; 5) і 6) – закони дистрібутивності; 7) і 8) – закони де Моргана; 9) і 10) – закони поглинання; 17) і 18) – закони ідемпотентності; 19) – закон подвійного доповнення.
Узагальнення операцій над множинами: об’єднання n множин А1ÈА2È … ÈАn= 
; перетин множин А1ÇА2Ç … ÇАn= 
; закони де Моргана 
= 
, 
= 
.
Базуючись на поняттях розглянутих вище операцій над множинами, розглянемо поняття розбиття множини.
Означення 1.6. Система множин {X1, X2, …, Xn} називається розбиттям множини М, якщо вона задовольняє наступні умови: будь-яка множина Хi, i = 
є підмножиною М, тобто Xi Ì M; будь-які дві множини Хі та Хj, i ¹ j, не перетинаються, тобто Хi Ç Xj =Æ; об’єднання всіх множин, що входять у розбиття, дає множину М = 
Хі ; для будь-якого і, i = , множина Хі є непорожньою, тобто Хі ¹ Æ.
Отже, розбиття множини — це така система непорожніх та різних підмножин множини М, коли кожен елемент множини М одночасно є елементом одного і тільки одного елемента системи. Наприклад, {{1,2},{3},{4,5}} є розбиттям множини {1,2,3,4,5}.
В алгебрі множин існує принцип двоїстості. Сутність його полягає в тому, що для будь-якого істинного твердження з використанням порожньої та універсальної множин і операцій È та Ç можна скласти двоїсте до нього твердження шляхом заміни ∅ на U, U на ∅, È на Ç, Ç на È, яке також буде істинним. Наприклад, твердження алгебри множин АÇ(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС) і АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС) є двоїстими. Використання принципу двоїстості дозволяє спрощувати складні вирази. Уважний читач може знайти серед наведених вище тверджень 1) – 26) алгебри множин інши пари тверджень, пов’язаних відношенням двоїстості.
При створенні складних алгебраїчних виразів і навпаки, спрощенні складних виразів слід керуватись приоритетом операцій відносно одна до одної. В алгебрі існує множин наступний приоритет операцій: , АÇВ, АÈВ, А\B. Поясненням приоритету операцій є наступний приклад, в якому парами дужок визначено послідовність виконання операцій для спрощення складного виразу: Q=(E\DÈ ÇВÈС)\F=(E\(DÈ((( )ÇВ)ÈС)))\F.
Дата добавления: 2015-04-04; просмотров: 258; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |