КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Функция распределения системы двух случайных величинФункцией распределения системы двух случайных величин называется вероятность совместного выполнения двух неравенств и : . ( .2.1) Если пользоваться для геометрической интерпретации системы образом случайной точки, то функция распределения есть не что иное, как вероятность попадании случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке , лежащий левее и ниже ее (рис.2.1). В аналогичной интерпретации функция распределения одной случайной величины - обозначим ее - представляет собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссой х (рис. 2.2); функция распределения одной величины - вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную ординатой у (рис.2.3). Рис.2.1 В 5.2 мы привели основные свойства функции распределения для одной случайной величины. Сформулируем аналогичные свойства для функции распределения системы случайных величин и снова воспользуемся геометрической интерпретацией для наглядной иллюстрации этих свойств. 1. Функция распределения есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е. При ; При . В этом свойстве функции можно наглядно убедиться, пользуясь геометрической интерпретацией функции распределения как вероятности попадании в квадрант с вершиной (рис.2.1). Действительно, увеличивая (смещая правую границу квадранта вправо) или увеличивая (смещая верхнюю границу вверх), мы, очевидно, не можем уменьшить вероятность попадания в этот квадрант.
Рис.2.2 Рис.2.3 2. Повсюду на функция распределения равна нулю: . В этом свойстве мы наглядно убеждаемся, неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта или вниз его верхнюю границу или делая это одновременно с обеими границами; при этом вероятность попадания в квадрант стремится к нулю. 3. При одном из аргументов, равном , функция распределил системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: , где - соответственно функции распределения случайных, функция распределения величин и . В этом свойстве функции распределения можно наглядно убедиться, смещая ту или иную из границ квадранта на ; при этом в пределе квадрант превращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной из величин, входящих в систему. 4. Если оба аргумента равны , функция распределения системы равна единице: . Действительно, при , квадрант с вершиной в пределе обращается во всю плоскость , попадание в которую есть достоверное событие. При рассмотрении законов распределения отдельных случайных величин ( 5) мы вывели выражение для вероятности попадания случайной величины в пределы заданного участка. Эту вероятность мы выразили как через функцию распределения, так и через плотность распределения. Аналогичным способом для системы двух случайных величин является вопрос о вероятности попадания случайной точки в пределы заданной области на плоскости (рис. .2.4). Рис .2.4 Условимся событие, состоящие в попадании случайной точки в область , обозначать символом . Вероятность попадания случайной точки в заданную область выражаются наиболее просто в том случае, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Выразим через функцию распределения системы вероятность попадания случайной точки в прямоугольник , ограниченный абсциссами и и ординатами и (рис .2.5). При этом следует условиться, куда мы будем относить границы прямоугольника. Аналогично тому, как мы делали для одной случайной величины, условимся включать в прямоугольник его нижнюю и левую границы и не включать верхнюю и правую. Тогда событие будет равносильно произведению двух событий: и . Выразим вероятность этого события через функцию распределения системы. Для этого рассмотрим на плоскости четыре бесконечных квадранта с вершинами в точках ; ; и (рис.2.6). Рис .2.5. Рис .2.6 Очевидно, вероятность попадания в прямоугольник равна вероятности попадания в квадрант минус вероятность попадания в квадрант минус вероятность попадания в квадрант плюс вероятность попадания в квадрант (так как мы дважды вычли вероятность попадании в этот квадрант). Отсюда получаем формулу, выражающую вероятность попадания в прямоугольник через функцию распределения системы: . ( .2.2) В дальнейшем, когда будет введено понятие плотности распределения системы, мы выведем формулу для вероятности попадания случайной точки в область произвольной формы.
|