Плотность распределения системы двух случайных величин

Введенная в предыдущем характеристика системы - функция распределения - существует для систем любых случайных величин, как прерывных, так и непрерывных. Основное практическое значение имеют системы непрерывных случайных величин. Распределение системы непрерывных величин обычно характеризуют не функцией распределения, а плотностью распределения.

Вводя в рассмотрение плотность распределения для одной случайной величины, мы определяли ее как предел отношения вероятности попадания на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении. Аналогично определим плотность распределения системы двух величин.

Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин , которая интерпретируется случайной точкой на плоскости . Рассмотрим на этой плоскости малый прямоугольник со сторонами и , примыкающий к точке с координатами (рис .3.1). Вероятность попадания в этот прямоугольник по формуле (2.2) равна

Рис .3.1

Разделим вероятность попадания в прямоугольник на площадь этого прямоугольника и перейдем к пределу при и :

( .3.1)

Предположим, что функция не только непрерывна, но и дифференцируема; тогда правая часть формулы ( .3.1) представляет собой вторую смешанную частную производную функции по и . Обозначим эту производную :

(3.2)

Функция называется плотностью распределения системы.

Таким образом, плотность распределения системы представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю; она может быть выражена как вторая смешанная частная производная функции распределения системы по обоим аргументам.

Если воспользоваться «механической» интерпретацией распределения системы как распределения единичной массы по плоскости , функция представляет собой плотность распределения массы в точке .

Рис .3.2

Геометрически функцию можно изобразить некоторой поверхностью (рис .3.2). Эта поверхность аналогична кривой распределении для одной случайной величины и называется поверхностью распределения.

Рис .3.3

Если пересечь поверхность распределения плоскостью, параллельной плоскости , и спроектировать полученное сечение на плоскость , получится кривая, в каждой точке которой плотность распределения постоянна. Такие кривые называются кривыми равной плотности. Кривые равной плотности, очевидно, представляют собой горизонтали поверхности распределения. Часто бывает удобно задавать распределение семейством кривых равной плотности.

Рассматривая плотность распределения для одной случайной величины, мы ввели понятие «элемента вероятности» . Это есть вероятность попадания случайной величины на элементарный участок , прилегающий к точке . Аналогичное понятие «элемента вероятности» вводится и для системы двух величин. Элементом вероятности в данном случае называется выражение

.

Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания в элементарный прямоугольник со сторонами , , примыкающий к точке (рис .3.3).

Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью и опирающегося на элементарный прямоугольник (рис .3.4).

Пользуясь понятием элемента вероятности, выведем выражение для вероятности попадания случайной точки в произвольную область . Эта вероятность, очевидно, может быть получена суммированием (интегрированием) элементов вероятности по всей области :

(3.3)

Геометрически вероятность попадания в область изображается объемом цилиндрического тела , ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область (рис .3.5).

Рис .3.4 Рис .3.5

Из общей формулы (3.3) вытекает формула для вероятности попадания в прямоугольник , ограниченный абсциссами и и ординатами и (рис .3.5);

(3.4)

Воспользуемся формулой (3.4) для того, чтобы выразить функцию распределения системы через плотность распределение . Функция распределения есть вероятность попадания в бесконечный квадрант; последний можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами - и и ординатами - и . По формуле ( .3.4) имеем:

. (3.5)

Легко убедиться в следующих свойствах плотности распределения системы:

1. Плотность распределения системы есть функция неотрицательная:

.

Это ясно из того, что плотность распределения есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника - и, следовательно, отрицательной быть не может.

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:

(3.6)

Это видно из того, что интеграл (3.6) есть не что иное, как вероятность попадания во всю плоскость , т.е. вероятность достоверного события.

Геометрически это свойство означает, что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью , равен единице.

Пример 1. Система двух случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

.

Найти функцию распределения . Определить вероятность попадания случайной точки в квадрат (рис .3.6).

Рис .3.6

Решение. Функцию распределения находим по формуле ( .3.5).

.

Вероятность попадания в прямоугольник находим по формуле ( .3.4):

.

Пример 2. Поверхность распределения системы представляет собой прямой круговой конус, основанием которого служит круг радиуса с центром в начале координат. Написать выражение плотности распределения. Определить вероятность того, что случайная точка попадет в круг радиуса (рис .3.7), причем .

Рис .3.7 Рис .3.8

Решение. Выражение плотности распределения внутри круга находим из рис .3.8:

,

где - высота конуса. Величину определяем так, чтобы объем конуса был равен единице: , откуда

,

и

.

Вероятность попадания в круг определяем по формуле (3.4):

. (3.7)

Для вычисления интеграла (3.7) удобно перейти к полярной системе координат :

.