![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Плотность распределения системы двух случайных величинВведенная в предыдущем Вводя в рассмотрение плотность распределения для одной случайной величины, мы определяли ее как предел отношения вероятности попадания на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении. Аналогично определим плотность распределения системы двух величин. Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин Рис .3.1 Разделим вероятность попадания в прямоугольник
Предположим, что функция
Функция Таким образом, плотность распределения системы представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю; она может быть выражена как вторая смешанная частная производная функции распределения системы по обоим аргументам. Если воспользоваться «механической» интерпретацией распределения системы как распределения единичной массы по плоскости Рис .3.2 Геометрически функцию Рис .3.3 Если пересечь поверхность распределения Рассматривая плотность распределения
Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания в элементарный прямоугольник со сторонами Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью Пользуясь понятием элемента вероятности, выведем выражение для вероятности попадания случайной точки в произвольную область
Геометрически вероятность попадания в область Рис .3.4 Рис .3.5 Из общей формулы (3.3) вытекает формула для вероятности попадания в прямоугольник
Воспользуемся формулой (3.4) для того, чтобы выразить функцию распределения системы
Легко убедиться в следующих свойствах плотности распределения системы: 1. Плотность распределения системы есть функция неотрицательная:
Это ясно из того, что плотность распределения есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника - и, следовательно, отрицательной быть не может. 2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:
Это видно из того, что интеграл (3.6) есть не что иное, как вероятность попадания во всю плоскость Геометрически это свойство означает, что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью Пример 1. Система двух случайных величин
Найти функцию распределения Рис .3.6 Решение. Функцию распределения
Вероятность попадания в прямоугольник
Пример 2. Поверхность распределения системы Рис .3.7 Рис .3.8 Решение. Выражение плотности распределения внутри круга
где
и
Вероятность попадания в круг
Для вычисления интеграла (3.7) удобно перейти к полярной системе координат
|