Прогнозирование неустойчивости методами теории катастроф

Теория катастрофпредставляет собой исследовательскую про­грамму изучения и прогнозирования неустойчивости различных систем. Такое название она получила потому, что потеря устойчи­вости по своим проявлениям может быть катастрофична, даже если не приводит к гибели или разрушению системы, а лишь обуславли­вает переход к иной траектории развития.

Простейшая программа прогнозирования элементарной катаст­рофы в экономической или производственной системе может быть построена на основе данных о связи переменных, характеризую­щих ее поведение. Функции, описывающие эти связи, могут быть получены эконометрическими методами. Например, связь двух переменных величин можно представить уравнением: у = х³/ 3 + а · х, где у и х — переменные, а — параметр; множитель 1/3 в первое слагаемое введен для упрощения преобразований.

Уравнение представляет собой функцию, характер кото­рой определяется величиной параметра а. Если этот параметр поло­жителен, то функция носит монотонный характер, ее график — плавная монотонно возрастающая кривая. Но если параметр а умень­шается, то при нулевом его значении тип функции меняется. При нулевом значении параметра изменяются характер связи в системе и поведение системы, это изменение называют бифуркацией.

При отрицательной величине параметра а функция, описывае­мая уравнением, представляет собой уже немонотонную фун­кцию. Она имеет максимум и минимум при значениях х = ± а^1/2.

Связь между переменными в определенной окрест­ности начала координат будет не однозначной. Одному значению переменной у будут соответствовать теперь три разных по величине значения переменной х. Таким образом, при монотонном плавном изменении переменной у переменная х будет изменяться скачкооб­разно. Это и будет катастрофа.

Если установлено, что между переменными, характеризующи­ми поведение системы, связь описывается уравнением вида, то можно утверждать, что в системе возможно проявление неус­тойчивости. Если параметр а положителен, но выявлена тенденция его умень­шения, то можно считать, что система приближается к катастрофе. В обоих случаях необходимо продолжить изучение системы и выя­вить условия или возможные сроки наступления катастрофы, оце­нить её вероятные последствия.

Тип элементарной катастрофы, определяемой связью, которая описывается уравнением, носит название катастрофы склад­ки, поскольку в пространстве трех координат - двух переменных и параметра а — поверхность, описываемая уравнением, имеет вид складки, начинающейся при а = 0 и углубляющейся по мере даль­нейшего уменьшения параметра.