![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Электростатика. Электрический ток1. Закон Кулона
где 2. Напряженность электрического поля и потенциал где Wп - потенциальная энергия положительного точечного заряда q, находящегося в данной точке поля. Сила, действующая на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда 3. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q где r - расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряженность или потенциал. 4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции полей). где 5. Напряженность и потенциал поля, создаваемого сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы: а) б) в) где q - заряд сферы. 6. Линейная плотность заряда: Поверхностная плотность заряда: Объемная плотность заряда: Связь заряда и плотностей: dq = sdS = td l= rdV. 7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью t, то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dq = tdl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы: где Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии. 8. Напряженность поля, создаваемого бесконечно прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром, где r - расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,
9. Электрическое смещение (электрическая индукция)
Теорема Гаусса:
10. Связь потенциала с напряженностью: а) б) в)
11. Электрический момент диполя
где q – заряд; l - плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами). 12. Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом j1, в точку с потенциалом j2 13. Электроемкость уединенного тела и конденсатора С = где j - потенциал проводника; U - разность потенциалов пластин конденсатора. Следует помнить, что при изменении электрической емкости конденсатора, подключенного к источнику напряжения, меняется величина заряда на его пластинах, а разность потенциалов остается постоянной и равной э.д.с. источника тока. При изменении емкости конденсатора, отключенного от источника напряжения, меняется разность потенциалов на его пластинах, а величина заряда остается при этом неизменной. Электроемкость плоского конденсатора C = где S - площадь одной пластины конденсатора; d - расстояние между пластинами. Электроемкость батареи конденсаторов: а) б) где N- число конденсаторов в батарее. Энергия заряженного конденсатора: W = qU/2 =CU2/2 = q2/(2C),
где V – объем конденсатора. Объемная плотность энергии электрического поля:
14. Сила тока где q - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t. Плотность тока j = I/S, где S - площадь поперечного сечения проводника. Связь плотности тока со средней скоростью где q - заряд частиц; n – их концентрация. 15. Закон Ома: a) б) в) 16. Правила Кирхгофа: а) б) где 17. Сопротивление R и проводимость G однородного проводника R = где r - удельное сопротивление; g - удельная проводимость; l - длина проводника; S - площадь поперечного сечения. Зависимость удельного сопротивления от температуры
где α – температурный коэффициент сопротивления, t – температура по шкале Цельсия. Сопротивление системы проводников; а) б) где Ri - сопротивление i - го проводника. 18. Работа тока: Закон Джоуля-Ленца (тепловое действие тока): где dQ – количество теплоты, выделяющейся в проводнике, dt – промежуток времени, в течение которого выделялось тепло. Мощность тока полной цепи: P = I ε. Мощность тока на внешнем участке цепи: P = IU = I2R = U2/R. Закон Ома в дифференциальной форме . Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме w = γ E2, где w - объемная плотность тепловой мощности (количество тепла, выделяющегося в единице объема за единицу времени).
3.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Р е ш е н и е. Заряд q1 будет находиться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это означает, что на заряд q1 должны действовать две силы, равные по величине и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 1) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд q1 - положительный. На участке I (рис. 1,а) на заряд q1 будут действовать две противоположно направленные силы F1 и F2. Сила F1, действующая со стороны заряда 9q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F2, действующая со стороны заряда -q, так как больший (по абсолютной величине) заряд 9q будет находиться всегда ближе к заряду q1 , чем меньший заряд -q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно. На участке II (рис. 1,б) обе силы F1 и F2 направлены в одну сторону - к заряду -q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно. На участке III (рис. 1,в) силы F1 и F2 направлены в противоположные стороны, также как и на участке I, но в отличие от него меньший (по абсолютной величине) заряд (-q) всегда находится ближе к заряду q1, чем больший заряд 9q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы F1 и F2 будут одинаковы по абсолютной величине, т.е. F1 = F2. (1) Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда q1 будетх, тогда расстояние от большегоl+х. Заменяя в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим для абсолютной величины этих сил:
Сокращая на qq1 и извлекая из обеих частей равенства корень квадратный, найдем l + х = Зх, откуда х = + 1/2. Определим знак заряда q1, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда q1 в двух случаях: когда заряд положителен и когда заряд отрицателен. Если заряд q1 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2 возрастают. Но F2 (по абсолютному значению) больше, чем F1, и на заряд q1 будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд q1 удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда q1 вправо. Сила F2 будет убывать быстрее, чем F1. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым. Если заряд q1 отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F1 и F2, но сила F1 возрастает медленнее, чем F2, т.е. |F2| > |F1|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд q1 возвращается к положению равновесия. При смещении q1 вправо сила F2 убывает быстрее, чем F1, т.е. |F1| > |F2|, результирующая сила направлена влево и заряд q1 опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда q1 несущественна.
№ 2. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?
Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например q1, находился в равновесии. Заряд q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис 2):
где Так как силы F4 = F. Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F3 = F2 , получим Применяя закон Кулона, и имея в виду, что q2 = q3 = q1, найдем
откуда
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике (α=60°) следует, что
С учетом этого формула (2) примет вид
Подставив числовое значение q1 = 1 нКл = 10-9Кл, получим
Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
Р е ш е н и е. При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. Выделим на стержне (рис. 3) малый участок dr с зарядом dq = τdr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,
где
Интегрируя это выражение в пределах от а до а+ l, получим
откуда интересующая нас линейная плотность заряда равна
Выразим все величины в единицах СИ: q1 = 40 нКл = 4·10-8Kл, F = 6 мкН = 6·10-6 Н, l = 0,2м, а = 0,1м, Подставим числовые значения величин в полученную формулу и произведем вычисления:
№ 4. Два точечных электрических заряда q1 = 1 нКл и q2 = -2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10см друг от друга. Определить напряженность Р е ш е н и е. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность
зарядом q2 -
Вектор Абсолютное значение вектора Е найдем как следствие из теоремы косинусов:
где α – угол между векторами
В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos α вычислить отдельно:
Подставляя выражение Е1, из формулы (1) и E2 из формулы (2) в равенство (3) и вынося общий множитель 1/(4 πε0) за знак корня, получим
Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем вычисления:
При вычислении Е знак заряда q2 опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряженности, а направление В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т. е. φ = φ1 + φ2. (5) Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии г от него, выражается формулой
В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим
или
Подставляя в это выражение числовые значения физических величин, получим
№ 5. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ= 0,2 нКл/см2, Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см. Р е ш е н и е. Численное значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в поле, определяется по формуле F = qE, (1) где Е - напряженность поля, создаваемого заряженным цилиндром. Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра
где τ - линейная плотность заряда. Выразим линейную плотность τ через поверхностную плотность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами: q = σS = σ·2·π·Rl; q = τL. Приравняв правые части этих равенств, и сократив на l, получим τ= 2π·Rσ. С учетом этого формула (2) примет вид Подставив это выражение в (1), получим искомую силу F: Выпишем в единицах СИ числовые значения величин: q = 25 нКл = 2,5·10-8 Кл, σ=0,2 нКл/см2 = 2·10-6 Кл/м2, ε0 = 8,85·10-12 Ф/м. Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах. Подставим в (3) числовые значения величин:
Направление силы
№ 6.Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды q1 = 1 нКл и q2 = -0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 = 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см. Р е ш е н и е. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (см. рис. 5): области I (r1 < R1), области II (R1 < r2 < R2), области III (r3 > R2). 1. Для определения напряженности Е1 в области I проведем замкнутую сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Гаусса: (так как суммарный заряд, находящийся внутри данной замкнутой поверхности, равен нулю). Следовательно, Е1 (напряженность поля в области I) во всех точках, удовлетворяющих условию r1 < R1, будет равна нулю. 2. В области II замкнутую поверхность проведем радиусом r2. В этом случае
(так как внутри этой замкнутой поверхности находится только заряд q1). Так как Еn = Е = const, то Е можно вынести за знак интеграла:
или
Обозначив напряженность Е для области II через Е2, получим
где S2 = 4π·r22 – площадь замкнутой сферической поверхности. Тогда
3. В области III сферическая поверхность проводится радиусом r3. Обозначим напряженность Е области III через Е3 и учтем, что в этом случае замкнутая поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен q1 + q2. Тогда
Выразим все величины в единицах Си (q1 = 10-9 Кл, q2 = -0,5·10-9Кл, r1 = 0,05 м, r2 = 0,09 м, r3 = 0,15 м, 1/(4πε0) = 9·109 м/Ф) и произведем вычисления
№ 7. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал φ электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет одну треть длины окружности и равна 16 см. Р е ш е н и е. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 6). На нити выделим элемент длины dl. Заряд dq = τdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным. Определим напряженность электрического поля в точке 0. Для этого найдем сначала напряженность
где r - радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность в которой вычисляется. Выразим вектор
где Напряженность
Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл
где Так как r = R = const, dl = Rdθ, то Подставим найденное значение dEу в выражение (1)и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Y, пределы интегрирования возьмем от 0 до π/З, а результат удвоим:
Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3·l = 2πR), получим
Из этой формулы видно, что вектор Подставим значения τ и l в полученную формулу и произведем вычисления:
Найдем потенциал электрического поля в точке 0. Сначала найдем потенциал dφ, создаваемый точечным зарядом dq в точке 0:
Заменим r на R и произведем интегрирование:
Так как l = 2πR/З, то φ = τ/6ε0. Произведем вычисления:
№ 8. На пластинах плоского конденсатора находится заряд q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик - воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Р е ш е н и е. Заряд q второй пластины находится в поле напряженностью Е1, созданном зарядом первой пластины конденсатора. Следовательно, на заряд q действует сила (рис. 7) F = qE1. (1) Так как
где σ - поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) с учетом выражения (2) примет вид
Подставив числовые значения величин в формулу (3), подучим
№ 9. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ= 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части. Р е ш е н и е. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала:
Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде
Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для напряженности можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:
Подставив выражение Е в (1), подучим
или
Выразим τ и 1/2πε0 в единицах СИ: τ= 20 нКл/м = 2·10-8 Кл/м, ε0 = 8,85·10-12 Ф/м. Так как величины r1 и r2 входят в формулу (2) в виде отношения, их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: r1 = R + а1 = 1,5 см; r2= R + а2 = 3 см. Подставим числовые значения в (2) и вычислим:
№ 10. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v1 = 106 м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза. Р е ш е н и е. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда электрона е на разность потенциалов U: А = eU (1) Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:
где WК1 и WК2 - кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m - масса электрона; v1 и v2 - начальная и конечная скорости его.
|