Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений

, (3)

Сопротивление R₁ параллельного соединения может быть найдено по формуле , откуда .

Подставив числовые значения, найдем

Из выражений (2) и (3) определим силу тока:

.

Если подставить значения I₁ и R₁ в формулу (1), то можно определить показание вольтметра: U₁ = 1,03·45,5 В = 46,9 В.

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра: .

Подставляя в эту формулу числовые значения, получим

.

№ 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R= 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I₀ = 0 до I₂ = 6 А. Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике за вторую секунду.

Р е ш е н и е. Закон Джоуля - Ленца в виде Q = I² R t справедлив только для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

dQ = I² R dt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае

I = k t + I_{0 ,} (2)

где k - коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т. е.

.

С учетом (2) формула (1) примет вид

dQ = k² R t² dt. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁до t₂:

.

При определении теплоты Q, выделившейся за вторую секунду, пределы интегрирования t₁ = 1 с, t₂ =2 с, тогда

.

№ 14. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис. 9). В этой цепи R₁ = 100 Ом, R₂ = 50 Ом, R₃ = 20 Ом, э.д.с. элемента ε₁ = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I₃ = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с. ε₂ второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Указание. Для расчета разветвленных цепей применяются правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е. å I_i = 0.

Второе правило Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме э.д.с., в этом контуре.

На основании этих правил можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и э.д.с.). Применяя правила Кирхгофа, следует соблюдать следующую последовательность.

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Возможное число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус; б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму правилу Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном выбранному.

Р е ш е н и е.

Выберем направления токов, как они показаны на рис. 9, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому правилу Кирхгофа для узла F имеем

I₁ – I₂ – I₃ = 0. (1)

По второму правилу Кирхгофа имеем для контура АВСDFА:

-I₁R₁ – I₂R₂ = -ε₁,

или после умножения обеих частей равенства на -1

I₁ R₁ + I₂ R₂ = ε₁ . (2)

Соответственно для контура AFGHA:

I₁ R₁ + I₃ R₃ = ε₂. (3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:

I₁ – I₂ = 0,05;

50 I₁ + 25 I₂ = 1;

100 I₁ + 0,05·20 = ε₂.

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные - в правые, получим следующую систему уравнений:

I₁ – I₂ = 0,05; 50 I₁ + 25 I₂ = 1; 100 I₁ - ε₂ = -1.

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε₂из трех, то воспользуемся методом Крамера.

Составим и вычислим определитель Δ системы:

.

Составим и вычислим определитель Δε₂:

.

Разделив определитель Δε₂ на определитель Δ, найдем числовое значение э.д.с. ε₂:

ε₂ = -300/(-75) = 4 В.

3.2. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ.

1. Два шарика массой m = 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити l = 10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол α = 60°? ( Ответ. 79 нКл.)

2. Расстояние между зарядами q₁ = 100 нКл и q₂ = 60 нКл равно d = 10 см. Определить силу F, действующую на заряд q₃ = 1мкКл, отстоящий на r₁ = 12 см от заряда q₁ и на r₂ = 10 см от заряда q₂. (Ответ. 51 мН)

3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 1,5 нКл/см. На протяжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд q = 0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. (Ответ. 2,26 мН)

4. Длинная прямая тонкая проволока имеет равномерно распределенный заряд. Вычислить линейную плотность τ заряда, если напряженность поля на расстоянии d = 0,5 м от проволоки против ее середины E = 2 В/см. (Ответ. 5,55 нКл/м)

5. С какой силой, приходящейся на единицу площади, отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда σ = 2 мкКл/м²? (Ответ. 0,23 Н/м²)

6. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы получить скорость v = 8 Мм/с? (Ответ. 182 В)

7. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м². Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние d = 10 см. (Ответ. 56,6 В)

8. Электрон с начальной скоростью v₀ = 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е = 150 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через t = 0,1 мкс. (Ответ. 24 аН; 26,4 Тм/с²; 4 Мм/с)

9. К батарее с э.д.с. ε = 300 В подключены два плоских конденсатора емкостью С₁ = 2 пФ и С₂ = 3 пФ. Определить заряд q и напряжение U на пластинах конденсаторов в двух случаях: 1) при последовательном соединении; 2) при параллельном соединении. (Ответ. 1) 0,36 нКл; 189 В; 120 В; 2) 0,6 нКл; 0,9 нКл; 300 В)

10. Конденсатор емкостью С₁ = 600 см зарядили до разности потенциалов U = 1,6 кВ и отключили от источника напряжения. Затем к конденсатору присоединили второй, незаряженный конденсатор емкостью С₂ = 400 см. Сколько энергии W, запасенной в первом конденсаторе, было израсходовано на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов? (Ответ. 0,3 мДж)

11. На концах медного провода длиной l = 5 м поддерживается напряжение U = 1 В. Определить плотность тока j в проводе. (Ответ. 1,18·10⁷ А/м)

12. Сопротивление R₁ = 5 Ом, вольтметр и источник тока соединены параллельно. Вольтметр показывает напряжение U₁ = 10 В. Если заменить сопротивление R₁ на R₂ = 12 Ом, то вольтметр покажет напряжение U₂ = 12 В. Определить э.д.с. и внутреннее сопротивление источника тока. Током через вольтметр пренебречь. (Ответ. 14 В; 2 Ом.)

13. Определить заряд, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U₁ = 2 В до U₂ = 4 В в течение t = 20 с. (Ответ. 20 Кл)

14. Определить силу тока I в цепи, состоящей из двух элементов с э.д.с. ε₁ = 1,6 В и ε₂ = 1,2 В с внутренними сопротивлениями r₁ = 0,6 Ом и r₂ = 0,4 Ом, соединенных одноименными полюсами. (Ответ. 0.4 А)

15. Три батареи с э.д.с. ε₁ = 8 В, ε₂ = 3 В и ε₃ = 4 В с внутренними со­про­тивлениями r = 2 Ом каждое соединены одно­и­менными полюсами. Пре­не­брегая сопротивлением соединительных про­во­дов, определить токи, идущие через батареи. (Ответ. 1,5 А; 1 А; 0,5 А)

16. Определить напряжение U на зажимах реостата сопротивлением R (рис 10), если ε₁ = 5 В, r₁ = 1 Ом, ε₂ = 3 В, r₂ = 0,6 Ом, R = 3 Ом. (Ответ. 3,3 В)

17. Определить напряжение на сопротивлениях R₁ = 2 Ом, R₂ = R₃ = 4 Ом и R₄ = 2 Ом, включенных в цепь, как показано на рис. 11, если ε₁ = 10 В, ε₂ = 4 В. Сопротивлениями источников тока пренебречь. (Ответ. 6 В; 0; 4 В; 4 B)

3.3. ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ