Электромагнетизм 1 страница

1. Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля.

,

где m - магнитная проницаемость однородной среды; m₀ - магнитная постоянная. В вакууме m = 1, и магнитная индукция в вакууме

.

2. Закон Био-Савара-Лапласа

или

где - магнитная индукция поля, создаваемого элементом провода длиной c током I; - радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; a - угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе провода.

3. Принцип суперпозиции магнитных полей

или

для , созданных элементом тока .

Направление вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым током, определяется по правилу буравчика (правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая линия на рис.) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор . Вектор магнитной индукции в точке А направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Рис. 1

4. Магнитная индукция в центре кругового тока

где R - радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока

где h - расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (вывод этой формулы в примере № 1):

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямолинейным проводником с током:

где r₀ - расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля бесконечно длинного соленоида

B = mm₀nI,

где n - отношение числа витков соленоида N к его длине l.

5. Сила, действующая на элемент провода с током в магнитном поле (закон Ампера):

,

где - вектор, равный по модулю длине участка провода и совпадающий по направлению с током; a - угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции .

Для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода получим:

.

6. Магнитный момент плоского контура с током

,

где - единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I - сила тока, протекающего по контуру; S - площадь контура.

7. Механический вращающий момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

или ,

где a - угол между векторами

8. Сила Лоренца

или ,

где - скорость заряженной частицы; a - угол между векторами и .

Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то на нее действует сила

.

9. Магнитный поток (через поверхность S):

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф = BScosa или Ф = B_nS ,

где S - площадь контура; a - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток) – Y = NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

10. Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле dA=I dФ или А=I×DФ.

11. Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла): .

Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью в магнитном поле, U = Blv·sina,

где l - длина провода; a - угол между векторами и .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур: или , где R - сопротивление контура.

12. Индуктивность контура L = Ф/I.

Индуктивность соленоида L = mm₀n²lS,

где n - отношение числа витков соленоида к его длине; l – длина соленоида, S – площадь его поперечного сечения.

13. Э.д.с. самоиндукции

14. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) - при замыкании цепи, где e -э.д.с. источника тока; t - время, прошедшее после замыкания цепи;

б) - при размыкании цепи, где I₀ - сила тока в цепи при t = 0; t - время, прошедшее с момента размыкания цепи.

15. Энергия магнитного поля соленоида W =

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии поля к его объему)

w = BH/2 = B²/(2mm₀) = mm₀ H²/2.

4.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

№ 1.По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r₀ = 30 см от его середины.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа

(1)

и принципом суперпозиции магнитных полей:

, (2)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода, магнитная индукция, создаваемая элементом тока в точке, определяемой радиус-вектором ; m₀ - магнитная постоянная; m - магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае m = 1). Векторы от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражения (1), (2) можно переписать в скалярной форме:

, ,

где a есть угол между вектором и радиус-вектором . Таким образом,

. (3)

Выразим длину элемента провода dl через угол da: dl = rda/sina.

Запишем выражение в виде Переменная r также зависит от a (r = r₀/sina), следовательно: . Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде , где a₁ и a₂ - пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

(4)

При симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos a₂ = -cos a₁. С учетом этого формула (4) примет вид

. (5)

Из рис.2 следует

Подставив выражение cosa₁ в формулу (5), получим

. (6)

Произведя вычисления по формуле (6), получим В = 26,7 мкТл.

№ 2.Два бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками в точке А. (см. рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстояние r₁ = 5 см, от другого на r₂ = 12 см.

Р е ш е н и е.

Для нахождения магнитной индукции в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей: = ₁+ ₂.

Модуль вектора может быть найден из теоремы косинусов

Рис. 3

, (1)

где a - угол между векторами ₁ и ₂.

Магнитные индукции ₁ и ₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А

В₁ = m₀I/(2pr₁); B₂ = m₀I/(2pr₂).

Подставляя выражения В₁ и В₂ в формулу (1), получаем

. (2)

Вычислим cosa по теореме косинусов (Ða = ÐDAC как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), d² = r₁² + r₂² - 2r₁r₂cosa,

где d - расстояние между проводами. Отсюда

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

= 308 мкТл.

№ 3.По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

,

где d - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока I в точке, определяемой радиус-вектором .

Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор (рис. 4). Вектор d направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием: , где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор d на две составляющие: перпендикулярную плоскости

кольца d _^ и параллельную d _||, т.е. .Тогда ,

Рис. 4

из соображений симметрии, а векторы от различных элементов dl сонаправлены, следовательно , где dB_^ = dBcosb и dB = (поскольку перпендикулярен , то sina = 1). Таким образом, , где cosb = R/r (см. рис 4). Окончательно получим: .

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

Вектор направлен по оси кольца в соответствии с правилом буравчика.

№ 4.Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом a = (2/3)p.. Определить магнитную индукцию в точке А (см. рис. 5). Расстояние d = 5 см.

Рис. 5

Рис. 5

Р е ш е н и е.

Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (Рис. 5) В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме индукций ₁ и ₂ магнитных полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. = ₁ + ₂.

Магнитная индукция ₂ равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси провода, d = 0, т.к. [d ]= 0.

Магнитную индукцию B₁ найдем, воспользовавшись соотношением (4), из примера 1: где r₀ - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (см. рис. 5)

В нашем случае a₁®0 (провод длинный), a₂ =a = 2p/3. Расстояние r₀ = d sin(p - a). Тогда магнитная индукция .

Так как B =B₁ (B₂ = 0), то .

Вектор сонаправлен с вектором ₁ и направление его определяется правилом правого винта. На рис. 5 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Произведем вычисления:

№ 5.Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (см. рис. 6) По проводам текут токи I₁ = 80 A и I₂ = 60 A. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Р е ш е н и е.

В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей индукция магнитного поля, создаваемого токами I₁ и I₂, определяется

Рис. 6

выражением = ₁ + ₂, где ₁ - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I₁; ₂ - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I₂ (направление отмечено точкой в кружочке - перпендикулярно плоскости чертежа к нам).

Векторы ₁ и ₂, взаимно перпендикулярны, их направления находятся по правилу буравчика, и изображены в двух проекциях на рисунке. Модуль можно определить по теореме Пифагора (см. рис. 6)

,

В₁ и В₂ определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и .

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда .

Произведем вычисления: .

№ 6.Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рис.7. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: .

Рис. 7

В нашем случае провод можно разбить на три части (см. рис 7): два прямолинейных провода (1 и 3) , одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда , где , и - индукции магнитных полей в точке О, создаваемые током первого, второго и третьего участков провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то = 0 и тогда = + . Учитывая, что векторы и направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В₂ + В₃.

Магнитную индукцию В₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока: .

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому .

Магнитную индукцию В₃ найдем, применив соотношение (4), пример 1: .

В нашем случае r₀ =R, a₁ = p/2 (cos a₁ = 0), a₂ ®p (cos a₂ = -1). Тогда .

Используя найденные выражения, получим В = В₂ + В₃ = + ,

ли .

Произведем вычисления:

№ 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2 м каждый, находящихся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Р е ш е н и е.

Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их I₁ и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле, направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В₁ задается соотношением

. (1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода действует в магнитном поле сила . Так как вектор перпендикулярен вектору , то и тогда dF = I₂B₁dl.Подставив в это выражение значение В₁, получим .

Силу F взаимодействия токов найдем интегрированием: