![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ И КИНЕМАТИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДАТеория Механика- это наука о простейших формах движения и силах, вызывающих это движение. Механическим движениемназывается изменение с течением времени взаимного положения тел или частей тела друг относительно друга. Развитие механики как науки начинается с 3 в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Галилео Галилеем и окончательно сформулированы английским ученым Исааком Ньютоном. Механика Галилея – Ньютона называется классической механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме (3·108 м/с). Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику. Кинематика -это раздел физики, который изучает движение тел вне зависимости от причин, вызывающих это движение. Динамикаизучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение. Статикаизучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает. Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является материальная точка. Под материальной точкойпонимают любое тело, размерами и формой, которого можно пренебречь в данной задаче. Одно и тоже тело, в зависимости от постановки задачи может быть рассмотрено как материальное тело или материальная точка. Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек.В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек. Подвоздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, то есть менять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель – абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым теломназывается тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным. Различают три вида механического движения тел – поступательное, вращательное и колебательное. Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Колебательным движением называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Поступательное движение характеризуется векторами: перемещения, скорости и ускорения.
Перемещение – это вектор Путь Под элементарным вектором перемещения Радиус-вектор – это вектор, проведенный из начала системы координат, в которой изучается движение, в данную точку. Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина – скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.
Отношение пути, пройденного материальной точкой, к промежутку времени, за который этот путь пройден, называется средней скоростью движения:
<v> - скалярная величина. Вектором средней скорости
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением В общем случае криволинейного (и прямолинейного) движения средняя скорость может быть различной на разных участках траектории и зависеть от пути Δs, или, что то же, от промежутка времени Δt. Следовательно,
При уменьшении Δt до предела Δs=
Из формул 1.5 и 1.6 следует, что скорость выражается в метрах в секунду. Если направление вектора (1.7). В этом случае точка проходит за равные промежутки времени один и тот же путь. Если точка движется равномерно и прямолинейно со скоростью
где х0 – значение х в начальный момент времени (t=0), vх – проекция скорости точки на ось ОХ. Если модуль вектора скорости точки изменяется с течением времени, то такое движение точки называется неравномерным. Для характеристики быстроты изменения скорости
Отношение изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло, называется средним ускорением
Из правила деления вектора на скаляр следует, что среднее ускорение направлено так же, как приращение скорости, то есть под углом к траектории в сторону ее вогнутости. В общем случае среднее ускорение может быть различным на различных участках траектории. Оно зависит от промежутка времени, по которому проводится усреднение. Будем уменьшать промежуток времени. В пределе при Δt→0 точка В будет стремиться к точке А и среднее ускорение на пути АВ превратиться в мгновенное ускорение
Таким образом, мгновенное ускорение движения в любой точке - это вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее вогнутости, определяемый как первая производная вектора скорости по времени или степень изменения скорости во времени. Математически ускорение- это вторая производная радиус-вектора по времени. Из формул 1.10 и 1.11 следует, что ускорение выражается в метрах на секунду в квадрате (м/с2).
Тангенциальная составляющая ускорения равна первой производной по времени от модуля скорости, характеризует быстроту изменения скорости по модулю, направлена по касательной к траектории
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлена к центру кривизны траектории
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющей
численно равна
В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом: 1) 2)
Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скорость v1 = v0, то обозначив t2 = t и v2 = v, получим a=(v-v0)/t, откуда
Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения
3) 4) 5) 6) 7)
Отношение угла поворота к промежутку времени, за который этот поворот произошел называетсяугловой скоростью
Вектор Линейная скорость точки равна
В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение
При этом модуль векторного произведения, по определению, равен Если Т= 2π/ ω Единица измерения периода – секунда (с). Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения n n = 1/Т = ω/2π, откуда ω = 2πn Единица измерения частоты – Герц (Гц) или с-1. При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной изменяется и угловая. Поэтому можно ввести понятие углового ускорения. Отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется угловым ускорением
Единица измерения углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с2).
Тангенциальная составляющая ускорения Нормальная составляющая ускорения
Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение
В случае равнопеременного движения точки по окружности (
где ω0 – начальная угловая скорость
Динамика – это раздел механики, который изучает движение совместно с причинами, вызывающими или изменяющими это движение. В основе динамики лежат три закона Исаака Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом. Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Первый закон Ньютона называют также законом инерции. Инерция – явление сохранения скорости движения тела при отсутствии внешних воздействий. (Пример, при резком торможении автомобиля пассажир по инерции продолжает двигаться вперед с прежней скоростью). Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Системы отсчета, относительно которых тело при отсутствии внешних воздействий движется прямолинейно и равномерно называют инерциальными системами отсчета, то есть системы, где выполняется первый закон Ньютона. Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Земля движется относительно Солнца и звезд по криволинейной траектории, имеющей форму эллипса. Криволинейное движение всегда происходит с некоторым ускорением. Кроме того, земля совершает вращение вокруг своей оси. По этим причинам система отсчета, связанная с земной поверхностью, движется с ускорением относительно гелиоцентрической системы отсчета и не является инерциальной. Однако ускорение такой системы настолько мало, что в большом числе случаев ее можно считать практически инерциальной. Опыт показывает, что при одинаковом воздействии различные тела по-разному изменяют свою скорость. Следовательно, ускорение, приобретаемое телом, зависит не только от воздействия, но и от некоторого собственного свойства тела. Это свойство тела характеризуют физической величиной, называемой массой. Масса – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. Единица измерения массы в системе СИ – килограмм. Отмеченное в законе инерции «воздействие других тел» (как причина, изменяющая состояние данного тела) получило общее название силы, действующей на данное тело. Таким образом, сила – это векторная физическая величина, являющаяся мерой воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого, тело либо приобретает ускорение, либо деформируется. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Второй закон Ньютона: Ускорение
Это есть основной закон динамики поступательного движения, который отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Второй закон Ньютона можно переписать в виде
Учитывая, что масса материальной точки в классической механике есть величина постоянная, в выражении 2.2 ее можно внести под знак производной:
Векторная величина численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки. Подставляя 2.4 в 2.3, получим
Это выражение – более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе – уравнение движения материальной точки. Единица силы в СИ – ньютон (Н): 1 Н – сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы: 1 Н = 1 кг ∙ 1 м/с2. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.
Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то согласно принципу независимости действия сил, под Третий закон Ньютона (закон действия и противодействия): Два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами равными по значению и противоположными по направлению
где Эти силы приложены к разным телам, всегда действуют парами и являются силами одной природы. Третий закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Для описания вращательного движения вводятся следующие динамические параметры: момент инерции, момент силы, момент импульса тела. Аналогами их в поступательном движении являются масса, сила, импульс тела. Момент инерции. Момент инерции материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния от ее оси: Эта величина скалярная. Единица измерения - кг·м2. В динамике вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса в динамике поступательного движения; определяет величину углового ускорения, получаемого телом под действием данного момента силы. Момент инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z. В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного
но так как
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции JC относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстоянии а между осями: В заключение приведем значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).
Кинетическая энергия вращения
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова: Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:
Используя выражение
Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела Если сравнить формулы В случае плоского движения тела, например, цилиндра скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, или движение маятника Максвелла (лабораторная работа 109), энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:
где m - масса катящегося тела; vC – скорость центра масс тела; JC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс; ω – угловая скорость тела.
Момент силы
Здесь Модуль момента силы где α – угол между
Учитывая
где Работа при вращении тела идет на увеличении его кинетической энергии: Учитывая, что
Это уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Момент импульса и закон его сохранения При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси. Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:
где
Модуль вектора момента импульса
где α – угол между векторами При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой скоростью и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:
Используя формулу то есть Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцируем уравнение
то есть Это выражение – еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Скорость изменения момента импульса тела равна результирующему моменту всех внешних сил. Можно показать, что имеет место векторное равенство
В замкнутой системе момент внешних сил
Это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, то есть инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол). Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение с угловой скоростью ω1. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω2 возрастает. Аналогичной, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения. Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение.
|