Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение

(9.1),

где и - действительные числа; - мнимая единица, определяемая равенством

или (9.2).

Число называют действительной частью комплексного числа и обозначают ; - мнимая часть комплексного числа . Ее обозначают . Если , то число называют чисто мнимым, если , то число , есть действительное число.

Два комплексных числа и называют комплексно сопряженными числами.

Два комплексных числа и считаются равными, если и . Комплексное число , если и . Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Иногда комплексное число удобнее изображать в виде вектора , начало которого совпадает с началом координат, соединяющего точку с точкой . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и обозначается .

.

Угол между осью и вектором , отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа и обозначается .

Аргумент числа определяется с точностью до слагаемого , где - целое число. Главное значение аргумента числа - значение аргумента, удовлетворяющее неравенству . Главное значение аргумента комплексного числа обозначается через : .

Запись числа в виде называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

(9.3).

Разностью комплексных чисел и называется комплексное число

(9.4).

Произведение комплексного числа на действительное число называется комплексное число .

Произведение двух комплексных чисел и , записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:

(9.5).

Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число

(9.6).

Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел и определяется следующим образом:

(9.7).

Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси . Рис. 8.

Рис. 8.

Из Рис.8 следует, что:

.

Подставляя и в алгебраическую форму комплексного числа, получим

(9.8).

Выражение (9.8) называют тригонометрической формой записи комплексного числа , где .

Пусть даны два комплексных числа и . Записанные в тригонометрической форме:

.

Тогда .

(9.9).

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Если - целое положительное число, то из (9.9) следует:

(9.10).

Корнем -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , т.е. .

Корень -й степени из обозначается .

Если , то равен:

(9.11).

Подставляя в (9.11) значения получим ровно различных корней -й степени из .

Пример 12. Дано комплексное число .

Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения .

Решение. Запишем число в алгебраической форме:

.

Найдем : .

Вычислим . Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

.

Вычислим :

при

при

при

Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа , согласно которой

.

Пусть и , тогда:

.