Кривые второго порядка

1. Общее уравнение кривых второго порядка.

Всякое уравнение второй степени относительно х и у, то есть уравнение вида

, (12.1)

где - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости линию, которую принято называть кривой второго порядка. Верно и обратное. Существует четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Все они могут быть получены путем сечения конуса плоскостью и потому их еще называют кониками.

Уравнения кривых можно получить исходя из их геометрических свойств как некоторого геометрического места точек, удовлетворяющего определенным условиям.

2. Окружность. Окружностью называют геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если r – радиус окружности, а точка С( ) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид:

. (12.2)

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет простейший – канонический вид: .

Пример14. Составить уравнение окружности, проходящей через точки
А(5; 0) и В(1; 4), если центр ее лежит на прямой х – у – 3 = 0.

Решение.

Найдем координаты точки М – середины хорды АВ:

, то есть М(3; 2).

Центр окружности находится на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка АВ. Составим уравнение прямой АВ:

, или х + у – 5 = 0.

Угловой коэффициент прямой АВ равен -1, следовательно угловой коэффициент перпендикуляра . Уравнение перпендикуляра

у – 2 = 1(х – 3), или х – у – 1 = 0.

Центр окружности С лежит на прямой х + у – 3 = 0 по условию задачи, а также на перпендикуляре х – у – 1 = 0, то есть координаты центра удовлетворяют системе уравнений:

х – у – 3 = 0

х – у – 1 = 0.

Отсюда х = 2, у = 1, и точка С(2; 1).

Радиус окружности равен длине отрезка СА:

.

Уравнение окружности: (х – 2) ²+(у-1)² = 10.

3. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , большая чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

. (12.3)

Здесь - большая полуось эллипса, - малая полуось, причем если расстояние между фокусами равно 2с, то . Величина называется эксцентриситетом эллипса и характеризует меру сжатия. Так как с < , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

Прямые и называются директрисами эллипса. Директрисы эллипса обладают следующим свойством: если r – фокальный радиус-вектор точки М, d – расстояние от этой точки до односторонней с фокусом директрисы, то .

Пример15. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

Решение.

По условию задачи Уравнение директрис ; расстояние между директрисами , отсюда ; так как , то , то есть с = 2.

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

Замечание: если в каноническом уравнении эллипса , то фокусы эллипса лежат на оси ординат и ; уравнения директрис: ; фокальные радиус-векторы определяются по формулам: .

Пример 16. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 2с = 24, эксцентриситет .

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: .

По условию задачи с = 12. так как , то , то есть .

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

4. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , меньшая, чем расстояние между фокусами ( ).

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, (12.4)

где .

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки и называют вершинами гиперболы. Отрезок называют вещественной осью гиперболы, а отрезок , соединяющий точки и , - мнимой осью. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, заданные уравнениями называют директрисами гиперболы. Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы: .

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы: .

Уравнение так же является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси OY длины . Точки и служат вершинами гиперболы. Ветви гиперболы расположены в верхней и нижней части координатной плоскости. Две гиперболы и называют сопряженными гиперболами.

Пример17. Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М( ).

Решение.

По определению эксцентриситета, имеем , или .

Но , следовательно . Так как точка М( ) находится на гиперболе, то . Отсюда .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид: .

Пример 18. Угол между асимптотами гиперболы равен 60 ^о. Вычислить эксцентриситет гиперболы.

Решение.

Угловой коэффициент асимптоты гиперболы . Эксцентриситет гиперболы .

Подставляя значение углового коэффициента, получим

.

Пример 19. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
М(9; 8), если асимптоты гиперболы заданы уравнениями .

Решение.

Из уравнения асимптоты имеем . Так как точка М(9; 8) принадлежит гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, то есть .

Для отыскания полуосей гиперболы, имеем систему:

Решив систему, получим Искомое уравнение гиперболы имеет вид: .

5. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой , называемой директрисой. Если директриса задана уравнением , а фокус находится в точке F( ), то уравнение параболы имеет вид:

. (12.5)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс.

Уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.

Длина фокального радиус-вектора параболы определяется по формуле .

Пример 20. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OY и отсекающей на биссектрисе первого и третьего координатных углов хорду длиной 8 .

Решение.

Искомое уравнение параболы имеет вид .

Уравнение биссектрисы у = х. Определим точки пересечения параболы и биссектрисы:

Решив систему, получим О(0; 0) и М(2р; 2р).

Длина хорды ОМ = .

По условию имеем: ОМ = 8 , откуда 2р = 8.

Искомое уравнение параболы .