Векторы и линейные операции над ними

Вектор – это направленный отрезок прямой, обозначается или . Точка - начало вектора, точка - его конец. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, имеющий направление вектора и длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом вектора и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Записывается так . Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Под линейными операциями над векторами понимают операцию сложения векторов и умножение вектора на действительное число .

Суммой двух векторов и называется вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго вектора , при условии, что начало вектора и конец вектора совмещены. Обозначается сумма . Рис.4.

Рис. 4.

Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника. Два вектора можно сложить и по правилу параллелограмма. Рис.5.

Рис. 5.

Рис. 6.

Произведение вектора на число называется вектор , длина которого равна , он коллинеарен вектору и имеет направление вектора , если , и противоположное, если .

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.

2.

3.

4.

5.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и является существование такого числа , что .

Линейной комбинацией векторов называется сумма произведений этих векторов на действительные числа:

(7.1).

Система векторов называется линейно независимой, если их линейная комбинация (7.1) равна нулю только при всех одновременно равных нулю.

Два вектора и образуют базис на плоскости, если любой третий вектор на плоскости можно представить в виде

(7.2).

Три вектора образуют базис в пространстве, если любой вектор этого пространства можно представить в виде:

(7.3).

Выражение (7.3) называют разложением вектора по базису из векторов , а числа называют координатами вектора в базисе . Условно это записывается .

Два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.

Если известны координаты векторов в некотором базисе, то линейные операции над векторами сводятся к обычным арифметическим операциям над координатами этих векторов.

Чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты.

Чтобы найти разность двух векторов необходимо найти разность их соответствующих координат.

Чтобы умножить вектор на действительное число, необходимо умножить каждую его координату на это число.

Справедливы следующие утверждения. Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

Пример 10. Даны векторы . Проверить, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулю: . Покажем, что это равенство справедливо лишь при условии . Из равенства векторов следует:

Найдем определитель полученной однородной системы:

Следовательно, система имеет единственное решение :

а это значит, что векторы - образуют базис.

Найдем координаты вектора в этом базисе.

Запишем векторное равенство:

.

Переходя к координатой форме, получим:

Решив эту систему, получим:

.

Тогда , или в базисе .

В прямоугольной системе координат любой вектор можно представить в виде

(7.4),

где - взаимно ортогональные единичные векторы осей координат .

Координатами вектора в прямоугольной системе координат являются проекции этого вектора на соответствующие оси координат, то есть

(7.5).

- длина вектора в прямоугольной системе координат.

Углы, которые вектор образует с осями координат, принято обозначать соответственно . Косинусы этих углов называют направляющими косинусами вектора . Направляющие косинусы равны соответственно:

(7.6),

Или в координатной форме:

.

Для направляющих косинусов выполняется равенство

(7.7).

Если известны координаты точек то координаты вектора определяются формулами , то есть

.