Примеры решения задач. Построить линию пересечения призмы и конуса.

Задача 1 (Рисунок 25)

Построить линию пересечения призмы и конуса.

Рисунок 25

Алгоритм решения

Плоскость каждой грани призмы в пересечении с поверхностью конуса дает свой тип линий - это будут плоские кривые второго порядка: грань АВ – часть эллипса, грань ВС – часть параболы, грань АС – часть окружности. Эти три кривые соединяются между собой в замкнутую кривую.

Для построения линии пересечения используется метод секущих плоскостей. В качестве секущих плоскостей используются горизонтальные плоскости уровня (Г, Г¢, Г¢¢…). Эти плоскости в пересечении с призмой дают прямоугольники, а с конусом – окружности. В пересечении окружностей с соответствующими прямоугольниками получаем точки искомой линии пересечения.

Следует учесть, что если в пересечении участвует проецирующая поверхность (призма или цилиндр), то линия пересечения на одной из проекций известна сразу: она совпадает с проекцией основания проецирующей поверхности.

В данном примере фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией очерка основания призмы.

1. Построение начинаем с обозначения характерных (опорных) точек линии пересечения. В первую очередь определяем точки пересечения ребер призмы с поверхностью конуса (1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂), затем точки пересечения очерковых образующих конуса с гранями призмы (6₂, 7₂, 8₂, 9₂).

2. Определяем количество и место положения промежуточных точек. Число промежуточных точек должно быть достаточным для точного построения эллипса и параболы. Для построения окружности промежуточные точки не требуются. Чтобы не загромождать чертеж, промежуточные точки допускается цифрами не обозначать.

3. Находим горизонтальные проекции выбранных точек. Горизонтальная проекция точки 1 (1₁) находится в пересечении ребра А с левой очерковой образующей конуса. Для нахождения горизонтальных проекций точек 2(2₁) и 3 (3₁) вводим секущую плоскость Г (Г₂), которая рассекает конус по окружности радиуса R. Фронтальная проекция окружности совпадает с линией плоскости, а на горизонтальной проекции окружность проецируется в натуральную величину. В пересечении этой окружности с ребром В получаем горизонтальные проекции точек 2 (2₁) и 3 (3₁). Аналогичным образом строим все остальные точки, последовательно вводя плоскости Г¢, Г¢¢….

4. По двум имеющимся проекциям точек строим их профильные проекции, последовательно соединив которые, получим профильную проекцию линии пересечения.

5. Видимость линии пересечения на горизонтальной проекции определяем по призме, т.е. линия пересечения, лежащая на видимых гранях АВ (часть эллипса) и ВС (часть параболы) будет видна, а часть окружности, принадлежащая грани АС – не видна и изображается линией невидимого контура. Обводим очерки поверхностей. У призмы ребро А(А₁) полностью видимое, а ребра В(В₁) и С(С₁) видны соответственно до точек 2(2₁),3(3₁) и 4(4₁), 5(5₁). Часть основания конуса, расположенного под призмой, не видна и изображается линией невидимого контура.

6. Видимость линии пересечения на профильной проекции определяем по конусу. Границей видимости линии пересечения являются точки 6(6₃) и 7(7₃). Часть эллипса от точки 1(1₃) до точек 6(6₃) и 7(7₃) будет видна, а далее до точек 2(2₃) и 3(3₃) не видна. Ветви параболы, лежащие на грани ВС – не видны. Часть окружности линии пересечения совпадает с проекцией видимого на профильной проекции ребра призмы А(А₃). Ребро призмы В(В₃) существует до точек 2(2₃) и 3(3₃), и часть его (за конусом) до этих точек будет невидимым. Очерковые образующие конуса существуют и видны до точек 6(6₃) и 7(7₃) и от точек 8(8₃) и 9(9₃) до основания конуса.

Задача 2 (Рисунок 26)

Построить линию пересечения шара и конуса.

Рисунок 26