Кинематика поступательного и вращательного движений

Задача 1. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение движения автомобиля S(t)=A+Bt+Ct², где А=10 м, В=10 м/с, С=-0,5 м/с². Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в момент времени t=5с.

Ответ: υ=5 м/c; а_r= -1 м/с²; а_n= 0,5 м/с²; а=1,12 м/с².

Задача 2. Поезд движется прямолинейно со скоростью υ₀=180 км/ч. Внезапно на пути возникает препятствие, и машинист включает тормозной механизм. С этого момента скорость поезда изменяется по закону υ=υ₀ – аt², где |а| =1 м/с³. Каков тормозной путь поезда? Через какое время после начала торможения он остановится?

Ответ: х≈230 м, t≈7 с.

Задача 3. Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии S₁=15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за время ¾ часа и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии S₂ = 9 км от поселка. Каковы скорость течения реки и скорость лодки относительно воды?

Ответ: υ=4 км/ч; υ= 16 км/ч.

Задача 4. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом времени Δt=3с. Вычислить начальную скорость брошенного тела. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: υ₀=19,6 м/с.

Задача 5. График зависимости скорости некоторого тела от времени изображен на рисунке 4.1 Начертить графики зависимости ускорения и координаты тела, а также пройденного им пути от времени.

υ

t

t ₁ t₂

Рис. 4.1

Задача 6. Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задается уравнением φ=A+Bt+Ct³, где В=2 рад/с и С=1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения: 1) угловую скорость; 2) линейную скорость; 3) угловое ускорение; 4) тангенциальное ускорение; 5) нормальное ускорение.

Ответ: ω=14 рад/с; υ=1,4 м/с; ε=12 рад/с²; а_r=1,2 м/с²; а_n=19,6 м/с².

Задача 7. Тело брошено со скоростью υ₀=20 м/с под углом α=30⁰ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость тела, а также его нормальное и тангенциальное ускорения через t=1,5 с после начала движения. На какое расстояние переместится за это время тело по горизонтали и на какой высоте оно окажется в этот момент?

Ответ: υ=17,9 м/с, а_n= 9,5 м/с², а_t=2,5 м/с², S=26 м, h=4 м.

Задача 8. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением а_t. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала υ=79,2 см/с.

Ответ: а_t = 0,1 м/с².

Задача 9. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e = 2 рад/с². Через t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно а = 13,6 см/с². Найти радиус колеса.

Ответ: м.

Задача 10. Линейная скорость точек на окружности вращения диска υ₁=3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси имеют линейную скорость υ₂ = 2 м/с. Сколько оборотов в секунду делает диск?

Ответ: , где b = 10 см, n=1,59 об/с.

Задача 11. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением: j = A + Bt + Ct² + Dt³. Здесь В = 1 рад/с, С = 1 рад/с², D = 1 рад/с³. Найди радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек на ободе равно a_n = 3,46∙10² м/с².

Ответ: R=1,2 м.

Задача 12. Найти линейные ускорения движения центра масс: 1) шара, 2) диска, 3) обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен 30⁰, начальная скорость всех тел равна нулю. 4) Сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.

Ответ: 1) а=3,5 м/с²; 2) а=3,27 м/с²; 3) а=2,44 м/с²; 4) а=4,9 м/с².