![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод множителей ЛагранжаФункция Лагранжа исторически возникла в исследованиях аналитических механиков (Лагранж, Фурье, Фаркаш, Остроградский и др.) по проблеме равновесия механических систем при связях в форме уравнений и неравенств. Равновесие в механических системах сопряжено с состоянием, соответствующим минимуму потенциальной энергии. Данная функция играет ключевую роль в задачах линейного и нелинейного программирования. Пусть задана задача математического программирования: максимизировать функцию
при ограничениях
Для решения задачи можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функций нескольких переменных. При этом полагается, что функции
где
Если функция Ф = Множитель Лагранжа имеет экономический смысл. Если под Можно доказать, что если рассматривать экстремум при переменном ограничении Термин «маргинальный» в переводе с английского «marginal» означает предельный. При этом маргинальную оценку следует трактовать не как предельную по величине оценку, а как оценку ограничения (некоторого предела ресурса). В общей задаче нелинейного программирования условие (9.5) принимает форму неравенства. Однако и здесь применим метод множителей Лагранжа. Если для функций
Пара векторов
Функцию Лагранжа в этой задаче можно интерпретировать как стоимостное выражение результата производства, состоящего в получении дохода и сохранении неиспользованных ресурсов, а множители Лагранжа являются здесь оценками единицы неиспользованных ресурсов разных видов. Экономический смысл седловой точки у функции Лагранжа состоит в том, что между ценами имеющихся ресурсов и величиной дохода имеется равновесие, отклоняться от которого экономически не выгодно. Интересно сравнить роль оценок в задачах линейного и нелинейного программирования. В линейном программировании целевые функции основной и двойственной задач в точке оптимума совпадают. Иначе обстоит дело в нелинейном программировании. Необходимое условие достижения оптимума состоит здесь в равенстве лишь приростных, дифференциальных затрат и «маргинального (предельного) эффекта». Пример 1. Найти точку условного экстремума функции Ф = x1x2+х2х3 при ограничениях Решение. Составим функцию Лагранжа и продифференцируем ее по переменным Решение данной СЛУ, а следовательно и поставленной задачи: x1 = х2 = x3 = 1, Ф = 2.
|